Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$
Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$
Dạng toán này mình không sở trường lắm. Không biết hướng giải có vấn đề gì ko
Bây giờ ta xét bài toán trong trường hợp mở rộng hơn $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$
Bài này chia làm làm hai bước
Bước 1: Ta chỉ ra các hàm f(x) nếu hằng số hoặc có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 sẽ không thỏa mãn. Phần này không khó lắm, viết ra và lí luận, nhưng ngại viết.
Bước 2: Ta xét các hàm f(x) nếu bậc nhất khi đó giả sử f(x) = ax + b ($a\neq 0$) ==> $f\left [ f\left ( x \right )+x \right ]=f\left ( ax+b+x \right )=a\left ( ax+b+x \right )+b$ và
$f\left [ f\left ( x \right )-x \right ]=f\left ( ax+b-x \right )=a\left ( ax+b-x \right )+b$ suy ra
$VT=2a^{2}x+2ab+2b=8x$ với mọi x thuôc {$\mathbb{Z}$} $\Leftrightarrow a=\pm 2;b=0$ . Do đó, $f\left ( x \right )=\pm 2x$
Cuối cùng thử lại thấy thỏa mãn.
P/s : Bạn nào có ý kiến hay lời giải nào cứ thảo luận.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 11-04-2016 - 13:38
Dạng toán này mình không sở trường lắm. Không biết hướng giải có vấn đề gì ko
Bây giờ ta xét bài toán trong trường hợp mở rộng hơn $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$
Bài này chia làm làm hai bước
Bước 1: Ta chỉ ra các hàm f(x) nếu hằng số hoặc có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 sẽ không thỏa mãn. Phần này không khó lắm, viết ra và lí luận, nhưng ngại viết.
Bước 2: Ta xét các hàm f(x) nếu bậc nhất khi đó giả sử f(x) = ax + b ($a\neq 0$) ==> $f\left [ f\left ( x \right )+x \right ]=f\left ( ax+b+x \right )=a\left ( ax+b+x \right )+b$ và
$f\left [ f\left ( x \right )-x \right ]=f\left ( ax+b-x \right )=a\left ( ax+b-x \right )+b$ suy ra
$VT=2a^{2}x+2ab+2b=8x$ với mọi x thuôc {$\mathbb{Z}$} $\Leftrightarrow a=\pm 2;b=0$ . Do đó, $f\left ( x \right )=\pm 2x$
Cuối cùng thử lại thấy thỏa mãn.
P/s : Bạn nào có ý kiến hay lời giải nào cứ thảo luận.
Không được anh ạ! Lời giải trên chỉ được dùng cho phương trình hàm đa thức, em cũng đã có lần làm bài theo kiểu này và thầy nói rằng không thể lí luận như vậy!
Không được anh ạ! Lời giải trên chỉ được dùng cho phương trình hàm đa thức, em cũng đã có lần làm bài theo kiểu này và thầy nói rằng không thể lí luận như vậy!
Ok em! đúng là không được
Mảng này ko nghiên cứu nên post bài test. Hi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 11-04-2016 - 20:06
Sau đây là lời giải tham khảo ý kiến của mọi người:
Từ cách xác định hàm ta có điều kiện $f\left ( x \right )-x\in \mathbb{N}$
Đặt $f\left ( x \right )+x=u;f\left ( x \right )-x=v;u,v\in \mathbb{N}$ suy ra $u-v=2x$ nên giả thiết được viết thành
$f\left ( u \right )-f\left ( v \right )=8x=4\left ( u-v \right )\Leftrightarrow f\left ( u \right )-2u+f\left ( v \right )-2v=2\left ( u-3v \right )$
TH1 : Giả sử $f\left ( x \right )> 2x \Rightarrow VT> 0\Rightarrow u-3v> 0\Leftrightarrow u> 3v\Leftrightarrow f\left ( x \right )+x> 3f\left ( x \right )-3x\Rightarrow 2x> f\left ( x \right )$
(Mâu thuẫn)
TH2: Giả sử $f\left ( x \right )< 2x\Rightarrow VT< 0\Rightarrow u< 3v\Rightarrow f\left ( x \right )+x< 3f\left ( x \right )-3x\Leftrightarrow 2x< f\left ( x \right )$
(Mâu thuẫn)
TH3: Ta dễ dàng kiểm tra được $f\left ( x \right )=2x$ thỏa mãn.
Kết luận........
Sau đây là lời giải tham khảo ý kiến của mọi người:
Từ cách xác định hàm ta có điều kiện $f\left ( x \right )-x\in \mathbb{N}$
Đặt $f\left ( x \right )+x=u;f\left ( x \right )-x=v;u,v\in \mathbb{N}$ suy ra $u-v=2x$ nên giả thiết được viết thành
$f\left ( u \right )-f\left ( v \right )=8x=4\left ( u-v \right )\Leftrightarrow f\left ( u \right )-2u+f\left ( v \right )-2v=2\left ( u-3v \right )$
TH1 : Giả sử $f\left ( x \right )> 2x \Rightarrow VT> 0\Rightarrow u-3v> 0\Leftrightarrow u> 3v\Leftrightarrow f\left ( x \right )+x> 3f\left ( x \right )-3x\Rightarrow 2x> f\left ( x \right )$
(Mâu thuẫn)
TH2: Giả sử $f\left ( x \right )< 2x\Rightarrow VT< 0\Rightarrow u< 3v\Rightarrow f\left ( x \right )+x< 3f\left ( x \right )-3x\Leftrightarrow 2x< f\left ( x \right )$
(Mâu thuẫn)
TH3: Ta dễ dàng kiểm tra được $f\left ( x \right )=2x$ thỏa mãn.
Kết luận........
Lý luận $f(x)>2x$ hay $f(x)<2x$ là không có cơ sở vì $f(x)$ có thể lúc này $<2x$ nhưng với $x$ khác thì lại $>2x$.
Lý luận $f(x)>2x$ hay $f(x)<2x$ là không có cơ sở vì $f(x)$ có thể lúc này $<2x$ nhưng với $x$ khác thì lại $>2x$.
Hi! Lại sai rồi!
Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$
Ngoài hàm $f(x)=2x$ ra, mình còn tìm được vô số hàm số khác cũng thỏa mãn điều kiện đề bài.Đó là các hàm :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=6^m.10^n\\x\ neu\ x=3.6^m.10^n\ hoac\ x=5.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=2.6^m.10^n\\x\ neu\ x=6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=3.6^m.10^n\\x\ neu\ x=9.6^m.10^n\ hoac\ x=15.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=5.6^m.10^n\\x\ neu\ x=15.6^m.10^n\ hoac\ x=25.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
...........................................................
...........................................................
Tổng quát là :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=k.6^m.10^n\\x\ neu\ x=3k.6^m.10^n\ hoac\ x=5k.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N}\ va\ k=1\ hoac\ la\ so\ nguyen\ to)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-04-2016 - 11:49
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Ngoài hàm $f(x)=2x$ ra, mình còn tìm được vô số hàm số khác cũng thỏa mãn điều kiện đề bài.Đó là các hàm :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=6^m.10^n\\x\ neu\ x=3.6^m.10^n\ hoac\ x=5.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=2.6^m.10^n\\x\ neu\ x=6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=3.6^m.10^n\\x\ neu\ x=9.6^m.10^n\ hoac\ x=15.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=5.6^m.10^n\\x\ neu\ x=15.6^m.10^n\ hoac\ x=25.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
...........................................................
...........................................................
Tổng quát là :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=k.6^m.10^n\\x\ neu\ x=3k.6^m.10^n\ hoac\ x=5k.6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N}\ va\ k=1\ hoac\ la\ so\ nguyen\ to)$
Ồ, làm sao mà thu được những kết quả như vậy?
Ồ, làm sao mà thu được những kết quả như vậy?
Bắt đầu từ ý nghĩ liệu còn hàm số nào (ngoài hàm $f(x)=2x$) thỏa mãn điều kiện đề bài ?
Nếu $f(1)$ không phải bằng $2$, mà bằng $1$ chẳng hạn, thì điều gì xảy ra ?
$f(1)=1\Rightarrow f(2)+f(0)=8\Rightarrow f(2)=8\Rightarrow f(10)+f(6)=16$
Kết hợp với ĐK $f(x)\geqslant x$, ta có $f(6)=6$ ; $f(10)=10$
$f(6)=6\Rightarrow f(12)+f(0)=f(12)=48\Rightarrow f(36)=36$ ; $f(60)=60$
$f(10)=10\Rightarrow f(20)+f(0)=f(20)=80\Rightarrow f(60)=60$ ; $f(100)=100$
$f(36)=36\Rightarrow f(72)=288$ ; $f(60)=60\Rightarrow f(120)=480$ ; $f(100)=100\Rightarrow f(200)=800$
................................................
................................................
Tổng quát hóa, ta có :
$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=2.6^m.10^n\\x\ neu\ x=6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$
Các hàm khác cũng tìm được bằng cách tương tự.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-04-2016 - 21:39
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Đâu bắt buộc $f(0)=0$ nên làm sao suy được $f(2)$ khi cho $f(1)=1$?Bắt đầu từ ý nghĩ liệu còn hàm số nào (ngoài hàm $f(x)=2x$) thỏa mãn điều kiện đề bài ?Nếu $f(1)$ không phải bằng $2$, mà bằng $1$ chẳng hạn, thì điều gì xảy ra ?$f(1)=1\Rightarrow f(2)+f(0)=8\Rightarrow f(2)=8\Rightarrow f(10)+f(6)=16$Kết hợp với ĐK $f(x)\geqslant x$, ta có $f(6)=6$ ; $f(10)=10$$f(6)=6\Rightarrow f(12)+f(0)=f(12)=48\Rightarrow f(36)=36$ ; $f(60)=60$$f(10)=10\Rightarrow f(20)+f(0)=f(20)=80\Rightarrow f(60)=60$ ; $f(100)=100$$f(36)=36\Rightarrow f(72)=288$ ; $f(60)=60\Rightarrow f(120)=480$ ; $f(100)=100\Rightarrow f(200)=800$................................................................................................Tổng quát hóa, ta có :$f(x)=\left\{\begin{matrix}4x\ neu\ x=2.6^m.10^n\\x\ neu\ x=6^m.10^n\\2x\ trong\ cac\ truong\ hop\ con\ lai\ \end{matrix}\right.(m,n\in \mathbb{N})$Các hàm khác cũng tìm được bằng cách tương tự.
Đâu bắt buộc $f(0)=0$ nên làm sao suy được $f(2)$ khi cho $f(1)=1$?
Từ đề bài suy ra điều kiện $f(x)\geqslant x$ (vì nếu không thì $f(f(x)-x)$ sẽ không xác định)
Thay $x=0$ vào điều kiện đã cho ta có $f(f(0)+0)+f(f(0)-0)=8.0$ hay $f(f(0))=0$ (*)
Giả sử rằng $f(0)=a$ ($a\in \mathbb{N}$ ; $a> 0$)
Khi đó từ (*) suy ra $f(a)=0$.Nhưng như thế thì sẽ mâu thuẫn với điều kiện $f(x)\geqslant x$ đã nói ở trên.
Vậy phải có $f(0)=0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 17-04-2016 - 15:51
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh