Câu 1: Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R} $, tính định thức
$$\begin{vmatrix}
1 &a &a^2 &a^4 \\
1& b & b^2 &b^4 \\
1& c &c^2 &c^4 \\
1& d &d^2 &d^4
\end{vmatrix}$$
Câu 2:
a) Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp 2013 sao cho $AB=0$. Chứng minh $\det(A+A^T) \det(B+B^T)=0 $
b) Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa $Tr(A^k)= [Tr(A)]^k \;, \forall \; 1 \le k \le n $. Chứng minh $\det(A)=0 $
Câu 3: Cho $A,B$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa $A^2=A,B^2=B ,AB=BA$ . Chứng minh nếu $A-B$ lũy linh thì $A=B$.
Câu 4: Cho $A,B$ là ma trận cấp 3 có các phần tử là số thực sao cho $AB=BA, \det(A^2+B^2)=0 $ . Chứng minh rằng:
$$\det(A+B)=2 \det(A)+2\det(B) $$
Câu 5: Cho ma trận $A$ cấp $n$ không suy biến . Xét ánh xạ tuyến tính $T(X)=AX-XA \;, X \in M_n( R )$
a) Chứng minh $\dim \;Ker (T ) \ge n $
b) Chứng minh rằng các vecto riêng của $T$ ứng với các giá trị riêng khác $0$ là ma trận suy biến.
Câu 6: Tìm tất cả $P \in \mathbb{R}[x] $ thỏa :
$$P(x) P(x+1)=P(x^2+1) \;, \forall x \in \mathbb{R} $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-03-2013 - 23:24
