Cho tứ giác $ABCD$ ($\widehat{ABC}+\widehat{BCD}<180^{o}$). $O$ là giao $AB$ và $CD$, biết $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$. Chứng minh: $AC^{2}=CD.CO-AB.AO$
Phân tích cách tìm điểm phụ. Ta cần chứng minh biểu thức $AC^2=CD \cdot CO - AB \cdot AO$.
VP là hiệu hai tích nên ta sẽ biến đổi VT thành hiệu hai tích sao cho các tích tương ứng bằng nhau.
Giả sử trên tia đối $AC$ lấy $M$, khi đó $AC^2=AC(CM-AM)=AC \cdot CM - AC \cdot AM$.
Như vậy mục đích là sẽ tìm điểm $M$ thỏa mãn $CA \cdot CM = CD \cdot CO$ rồi chứng minh $AB \cdot AO = AC \cdot AM$.
Nhận thấy $AC \cdot CM = CD \cdot CO \Leftrightarrow \frac{AC}{CD}= \frac{CO}{CM}$.
Tỉ số này khiến ta liên tưởng đến hai tam giác đồng dạng $CDM$ và $CAO$.
Như vậy để có hai tam giác này đồng dạng thì ta sẽ lấy $M$ trên tia đối $CA$ sao cho $\angle CAO= \angle CDM$.
Lời giải. Trên tia đối tia $CA$ lấy $M$ thỏa mãn $\angle CDM = \angle CAO$, khi đó ta suy ra $\triangle CAO \sim \triangle CDM \; ( \text{g.g})$ suy ra $\frac{AC}{CD}= \frac{CM}{CO} \Rightarrow DC \cdot CO = CA \cdot CM$.
Cũng từ $\triangle CAO \sim \triangle CDM$ suy ra $\angle DMC = \angle AOC$.
Gọi $Q$ là giao của $MD$ và $AO$. Khi đó $\triangle AQM \sim \triangle DQO \; ( \text{g.g})$ dẫn đến $\angle OAD = \angle DMO \Rightarrow \angle OAD+ \angle AOD = \angle DMO + \angle DMC \Rightarrow \angle AMO = \angle ADC = \angle ABC$.
Như vậy $\triangle AMO \sim \triangle ABC \; (\text{g.g})$ nên $\frac{AB}{AM}= \frac{AC}{AO} \Rightarrow AB \cdot AO = AM \cdot CA$.
Do đó $CD \cdot CO- AB \cdot AO = AC^2$. $\square$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh rằng tam giác ABE đồng dạng với tam giác AGC.Bắt đầu bởi Tantran2510, 26-04-2024 hình học, đồng dạng, nội tiếp |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.Bắt đầu bởi nonamebroy, 18-04-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.Bắt đầu bởi Phuockq, 07-04-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh