Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho tứ giác $ABCD$ ($\widehat{ABC}+\widehat{BCD}<180^{o}$). $O$ là giao $AB$ và $CD$, biết $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$. Chứng minh: $AC^{2}=CD.CO-AB.AO$

 

[Zaraki]

Phân tích cách tìm điểm phụ. Ta cần chứng minh biểu thức $AC^2=CD \cdot CO - AB \cdot AO$.

VP là hiệu hai tích nên ta sẽ biến đổi VT thành hiệu hai tích sao cho các tích tương ứng bằng nhau.

Giả sử trên tia đối $AC$ lấy $M$, khi đó $AC^2=AC(CM-AM)=AC \cdot CM - AC \cdot AM$.

Như vậy mục đích là sẽ tìm điểm $M$ thỏa mãn $CA \cdot CM = CD \cdot CO$ rồi chứng minh $AB \cdot AO = AC \cdot AM$.

Nhận thấy $AC \cdot CM = CD \cdot CO \Leftrightarrow \frac{AC}{CD}= \frac{CO}{CM}$.

Tỉ số này khiến ta liên tưởng đến hai tam giác đồng dạng $CDM$ và $CAO$.

Như vậy để có hai tam giác này đồng dạng thì ta sẽ lấy $M$ trên tia đối $CA$ sao cho $\angle CAO= \angle CDM$.

 

Lời giải. Trên tia đối tia $CA$ lấy $M$ thỏa mãn $\angle CDM = \angle CAO$, khi đó ta suy ra $\triangle CAO \sim \triangle CDM \; ( \text{g.g})$ suy ra $\frac{AC}{CD}= \frac{CM}{CO} \Rightarrow DC \cdot CO = CA \cdot CM$.

Cũng từ $\triangle CAO \sim \triangle CDM$ suy ra $\angle DMC = \angle AOC$.

Gọi $Q$ là giao của $MD$ và $AO$. Khi đó $\triangle AQM \sim \triangle DQO \; ( \text{g.g})$ dẫn đến $\angle OAD = \angle   DMO \Rightarrow \angle OAD+ \angle AOD = \angle DMO + \angle DMC \Rightarrow \angle AMO = \angle ADC = \angle ABC$. 

Như vậy $\triangle AMO \sim \triangle ABC \; (\text{g.g})$ nên $\frac{AB}{AM}= \frac{AC}{AO} \Rightarrow AB \cdot AO = AM \cdot CA$.

Do đó $CD \cdot CO- AB \cdot AO = AC^2$. $\square$