Đến nội dung

Hình ảnh

cho tam giác ABC có $2\cos^2 B + 2\cos^2 C + 4\cos B\cos C=\cos^2 A + 4 - 4\cos A$. C/m tam giác ABC vuông cân tại A

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
rikimaru

rikimaru

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

cho tam giác ABC thoả mãn $2\cos^2 B + 2\cos^2 C + 4\cos B\cos C=\cos^2 A + 4 - 4\cos A$. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân đỉnh A



#2
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

cho tam giác ABC thoả mãn $2\cos^2 B + 2\cos^2 C + 4\cos B\cos C=\cos^2 A + 4 - 4\cos A$. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân đỉnh A

Điều kiện viết lại thành

 

$2(\cos B+ \cos C)^2=\cos^2 A-4\cos A+4$

 

Vì $\cos x$ là hàm lõm khi $x \in (0, \pi) $ nên theo bđt Jen-Sen ta có

 

$\cos B+\cos C \le 2\cos(\frac{B+c}{2})=2 \sin \frac{A}{2}$

 

$\Rightarrow 2(\cos B+\cos C)^2 \le 2 (2\sin \frac{A}{2})^2= 8.\frac{1-\cos A}{2}$

hay 

 

$\cos^2 A-4\cos A+4\le 4-4\cos A$

 

$\Leftrightarrow \cos^2  A \le 0$

 

$\Rightarrow A=\frac{\pi}{2}$

 

$\Rightarrow B=C=\frac{\pi}{4}$

 

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại A


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 25-03-2013 - 20:36





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh