cho tam giác ABC thoả mãn $2\cos^2 B + 2\cos^2 C + 4\cos B\cos C=\cos^2 A + 4 - 4\cos A$. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân đỉnh A
cho tam giác ABC có $2\cos^2 B + 2\cos^2 C + 4\cos B\cos C=\cos^2 A + 4 - 4\cos A$. C/m tam giác ABC vuông cân tại A
#1
Đã gửi 20-03-2013 - 20:29
#2
Đã gửi 25-03-2013 - 20:35
cho tam giác ABC thoả mãn $2\cos^2 B + 2\cos^2 C + 4\cos B\cos C=\cos^2 A + 4 - 4\cos A$. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân đỉnh A
Điều kiện viết lại thành
$2(\cos B+ \cos C)^2=\cos^2 A-4\cos A+4$
Vì $\cos x$ là hàm lõm khi $x \in (0, \pi) $ nên theo bđt Jen-Sen ta có
$\cos B+\cos C \le 2\cos(\frac{B+c}{2})=2 \sin \frac{A}{2}$
$\Rightarrow 2(\cos B+\cos C)^2 \le 2 (2\sin \frac{A}{2})^2= 8.\frac{1-\cos A}{2}$
hay
$\cos^2 A-4\cos A+4\le 4-4\cos A$
$\Leftrightarrow \cos^2 A \le 0$
$\Rightarrow A=\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow B=C=\frac{\pi}{4}$
Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại A
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 25-03-2013 - 20:36
- Mai Xuan Son và namseohihi thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh