Chủ đề này có 2 trả lời

[hungpronc1]

cho các số dương x,y,z: $z+y+z=3$ tìm min:

P=$\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 21-03-2013 - 22:55

[25 minutes]

cho các số dương x,y,z: $z+y+z=3$ tìm min:

P=$\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

Ta sẽ chứng minh $P \geq \frac{3}{2}$

Ta có : $\frac{x^2}{x+y^2}=\frac{x(x+y^2)-xy^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}$

Do đó  $P=x+y+z-(\frac{xy^2}{x+y^2}+\frac{yz^2}{y+z^2}+\frac{zx^2}{z+x^2})=3-(\frac{xy^2}{x+y^2}+\frac{yz^2}{y+z^2}+\frac{zx^2}{z+x^2})$

Ta sẽ phải chứng minh

            $\frac{xy^2}{x+y^2}+\frac{yz^2}{y+z^2}+\frac{zx^2}{z+x^2}\leq \frac{3}{2}$

Áp dụng AM-GM ta có $x+y^2 \geq 2y\sqrt{x}\Rightarrow \frac{xy^2}{x+y^2} \leq \frac{xy^2}{2y\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}y}{2}$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng lại ta được

                                   $\frac{xy^2}{x+y^2}+\frac{yz^2}{y+z^2}+\frac{zx^2}{z+x^2} \leq \frac{\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x}{2}$

Ta chỉ phải chứng minh $\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x\leq 3$ với $x+y+z=3$

Áp dụng bđt B.C.S ta có 

                                   $(\sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x)^2=(\sqrt{xy}\sqrt{y}+\sqrt{yz}\sqrt{z}+\sqrt{zx}\sqrt{x})^2\leq (x+y+z)(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)\frac{(x+y+z)^2}{3}=9$

                              $\Rightarrow \sqrt{x}y+\sqrt{y}z+\sqrt{z}x\leq 3\Rightarrow P \geq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

[nguyenthehoan]

Sử dụng kĩ thuật cosi ngược như sau

 

$\frac{x^{2}}{x+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}}\geq x-\frac{y\sqrt{x}}{2}$

 

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta phải cm

 

$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq 3$

 

Điều này hiển nhiên vì

 

$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}=\sqrt{y}\sqrt{xy}+\sqrt{z}\sqrt{zy}+\sqrt{x}\sqrt{xz}\leq \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)}\leq 3$

 

(Vì $xy+yz+zx\leq 3$)

 

Ta có dpcm.