Chủ đề này có 1 trả lời

[hungpronc1]

Cho các số thực $x,y$ sao cho $x+y+1=3xy$. Tìm GTLN của

P=$\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{3y}{x(y+1)}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 21-03-2013 - 23:06
Chú ý tiêu đề

[25 minutes]

Cho các số thực $x,y$ sao cho $x+y+1=3xy$. Tìm GTLN của

P=$\frac{3x}{y(x+1)}+\frac{3y}{x(y+1)}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}$

Ta sẽ chứng minh $P \leq 1$

Quy đồng mẫu số lên ta có

                                  $P=\frac{3x^2(y+1)+3y^2(x+1)}{xy(x+1)(y+1)}-\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}$

                             $\Rightarrow P=\frac{3xy(x+y)+3\left [ (x+y)^2-2xy \right ]}{xy(xy+x+y+1)}-\frac{(x+y)^2-2xy}{x^2y^2}$

Chuyển $(x+y,xy)\rightarrow (a,b)\Rightarrow a+1=3b$ theo giả thiết

Khi đó   $P=\frac{3ab+3a^2-6b}{b(a+b+1)}-\frac{a^2-2b}{b^2}$

Thay    $a=3b-1$ vào ta có 

             $P=\frac{3b(3b-1)+3(3b-1)^2-6b}{4b^2}-\frac{(3b-1)^2-2b}{b^2}$

        $\Rightarrow P=\frac{5b-1}{4b^2}$

Ta có $P \leq 1\Leftrightarrow 5b-1 \leq 4b^2\Leftrightarrow (4b-1)(b-1) \leq 0\Leftrightarrow b \geq 1$

Nhưng từ giả thiết ta có $x+y+1=3xy$ $\Rightarrow 3xy=x+y+1 \geq 3\sqrt[3]{xy}\Rightarrow xy=b \geq 1$

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh xong

Dấu = xảy ra khi $x=y=1$