Chủ đề này có 1 trả lời

[reddevil1998]

Bài toán : Giải Pt nghiệm nguyên dương:$$9^{m}=2b^{2}+1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 23-03-2013 - 12:31

[nguyenta98]

Bài toán : Giải Pt nghiệm nguyên dương:
$9^{m}=2b^{2}+1$

Giải như sau:
Bổ đề : $a^2-2b^2=1$ có nghiệm $a=u^2+2v^2,b=2uv,1=|u^2-2v^2|$
Chứng minh: Ta thấy $b$ chẵn vì nếu $b$ lẻ thì $2b^2+1 \equiv 3 \pmod{8} \Rightarrow a^2 \equiv 3 \pmod{8}$ vô lí
Do đó $b$ chẵn
$(a-1)(a+1)=2b^2 \Rightarrow (\dfrac{a-1}{2})(\dfrac{a+1}{4})=2b^2$ hoặc ngược lại, $gcd(\dfrac{a-1}{2},\dfrac{a+1}{4}=gcd(\dfrac{a-1}{4},\dfrac{a+1}{2})=1$ từ đó suy ra $\dfrac{a-1}{2}=u^2,\dfrac{a+1}{4}=v^2$ hoặc đảo vị trí giữa $2,4$ và kết quả bài toán được cm
$$***********$$
Áp dụng $(3^m)^2-2b^2=1$ khi đó $3^m=u^2+2v^2,1=|u^2-2v^2|$
TH1: $u^2-2v^2=1$ khi đó $3^m=4v^2+1$ nên $m=0$ vì nếu $m>0$ thì $(2v)^2 \equiv 2 \pmod{3}$ vô lí
TH2: $2v^2-u^2=1 \Rightarrow 3^m=4v^2-1=(2v-1)(2v+1)$ nên $2v-1=3^p,2v+1=3^q,p+q=m$ suy ra $3^q-3^p=2$ từ đó $q=1,p=0$ nên $m=1$
Vậy $\boxed{(m,n)=(0,0),(1,2)}$