Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$
#2
Đã gửi 22-03-2013 - 19:39
Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$
Bất đẳng thức trên tương đương với $\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{x}-1\right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right )\geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do $\left | \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |\geq 2,\forall x,y\neq 0$
- Yagami Raito, mbrandm và Phanh thích
#3
Đã gửi 23-03-2013 - 21:17
Bất đẳng thức trên tương đương với $\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{x}-1\right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right )\geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do $\left | \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |\geq 2,\forall x,y\neq 0$
Chỗ GTTĐ của bạn chưa GT kĩ:
$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)=\frac{[(x-\frac{1}{4}y)^2+\frac{3}{4}y^2](x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0\forall x,y\in \mathbb{R}$$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)=\frac{[(x-\frac{1}{4}y)^2+\frac{3}{4}y^2](x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0\forall x,y\in \mathbb{R}$
- mbrandm, pinokio119 và Mori Ran thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#4
Đã gửi 24-03-2013 - 11:31
Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$
$M\doteq \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^{2}-3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+2=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} -3\right )+2\geq 2.(2-3)+2=0$
- Yagami Raito, Mori Ran, nguyenhieu123 và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 24-03-2013 - 15:34
Mở rộng bt với x,y $\in \mathbb{R} x,y\neq 0$
- pinokio119 yêu thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#6
Đã gửi 31-03-2013 - 07:02
Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$
$A=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3)+2\geq 2(2-3)+2=0$
- Yagami Raito, nguyencuong123 và nguyenhieu123 thích
#7
Đã gửi 31-03-2013 - 20:43
Bài này giống PT đối xứng
Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2$
ta đc $a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2)\geq 0$
Issac Newton
#8
Đã gửi 03-04-2013 - 12:45
bài này trong quyển 1001_23 chuyên đề bài 387
Chuyên Vĩnh Phúc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh