Chủ đề này có 7 trả lời

[Phanh]

Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$

[banhgaongonngon]

Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$

Bất đẳng thức trên tương đương với $\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{x}-1\right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right )\geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do $\left | \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |\geq 2,\forall x,y\neq 0$

[Christian Goldbach]

Bất đẳng thức trên tương đương với $\left ( \frac{x}{y} +\frac{y}{x}-1\right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 \right )\geq 0$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do $\left | \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right |\geq 2,\forall x,y\neq 0$

Chỗ GTTĐ của bạn chưa GT kĩ:
$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)=\frac{[(x-\frac{1}{4}y)^2+\frac{3}{4}y^2](x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0\forall x,y\in \mathbb{R}$$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)=\frac{[(x-\frac{1}{4}y)^2+\frac{3}{4}y^2](x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0\forall x,y\in \mathbb{R}$

[nguyencuong123]

Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$

$M\doteq \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )^{2}-3\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+2=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} -3\right )+2\geq 2.(2-3)+2=0$

[Christian Goldbach]

Mở rộng bt với x,y $\in \mathbb{R} x,y\neq 0$

[Nguyen Tho The Cuong]

Cho $x,y > 0$
Chứng minh: $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4\geq 0$

$A=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3)+2\geq 2(2-3)+2=0$

[Trang Luong]

Bài này giống PT đối xứng 

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2$

ta đc $a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2)\geq 0$

[buiminhhieu]

bài này trong quyển 1001_23 chuyên đề bài 387