Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] - Trận 24 - Bất đẳng thức, cực trị


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:

1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 22/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả $a+b+c=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}+a}{b+c+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}+b}{c+a+b^{2}}}$$

Đề của hoangtrong2305


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả $a+b+c=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}+a}{b+c+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}+b}{c+a+b^{2}}}$$

Đề của hoangtrong2305
 

Lời giải:
Kí hiệu: $\sum a=a+b+c=3$
Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có: $\sum a^2\geq \frac{1}{3}(\sum a)^2$
Bài toán(Áp dụng BĐT cauchy):
$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}+a}{b+c+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}+a^{2}+b}{c+a+b^{2}}}=\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2+c}{a+b+c^2}}=\sum \frac{a^2+b^2+c}{\sqrt{(a^2+b^2+c)(a+b+c^2)}}\geq \sum \frac{a^2+b^2+c}{\frac{a^2+b^2+c+a+b+c^2}{2}}=2\frac{2\sum (a^2+a)-\sum a}{\sum (a^2+a)}=4-\frac{2\sum a}{\sum (a^2+a)}\geq 4-\frac{2\sum a}{\frac{1}{3}(\sum a)^2+\sum a}=3$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
P/s: Làm bừa..!!!

 

ĐIỂM: 10

 

S = 18 + 3*10 = 48


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-03-2013 - 20:48
Ghi điểm


#4
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Lời giải:
Theo BĐT AM-GM và $a+b+c=3$ ta có:
$\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2+c}{a+b+c^2}}=\sum \frac{a^2+b^2+c}{\sqrt{(a+b+c^2)(a^2+b^2+c)}}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)+6}{a^2+b^2+c^2+3}$
Ta chứng minh $\frac{4(a^2+b^2+c^2)+6}{a^2+b^2+c^2+3}\geq 3$ hay $a^2+b^2+c^2\geq 3$   (*)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=3$
Do đó (*) đúng
Vậy $\min P=3$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

ĐIỂM: 10

 

S = 14+ 3*10 +10+10= 64


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-03-2013 - 20:51
Chấm bài


#5
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

1) Mở rộng 1: Cho các số thực dương $a_i$ thỏa $a_1+...+a_n=n$ vói n là số nguyên dương không nhỏ hơn 3. Tìm min
$A=\sqrt{\frac{a_1+a_2^2+...+a_n^2}{a_1^2+a_2+...+a_n}}+...+\sqrt{\frac{a_1^2+...+a_{n-1}^2+a_n}{a_1+...+a_{n-1}+a_n^2}}$
Giải: Theo BĐT AM-GM và $a_1+...+a_n=n$ ta có:
$A=\frac{a_1+a_2^2+...+a_n^2}{\sqrt{(a_1^2+a_2+...+a_n)(a_1+a_2^2+...+a_n^2)}}+...+\frac{a_1^2+...+a_{n-1}^2+a_n}{\sqrt{(a_1+...+a_{n-1}+a_n^2)(a_1^2+...+a_{n-1}^2+a_n)}}$
$\geq \frac{(2n-2)(a_1^2+...+a_n^2)+2n}{a_1^2+...+a_n^2+n}$
Ta chứng minh $\geq \frac{(2n-2)(a_1^2+...+a_n^2)+2n}{a_1^2+...+a_n^2+n}\geq n$
hay $a_1^2+...+a_n^2\geq n$ (vì $n\geq 3$) (*)
Theo BĐT Cauchy- Schwarz: $VT_{(*)}\geq \frac{(a_1+...+a_n)^2}{n}=n$ hay (*) đúng
Vậy $\min A=n$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n=1$

 

ĐIỂM MỞ RỘNG: 10


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 26-03-2013 - 14:39


#6
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Đặt biểu thức đã cho là P,ta dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c=1 và khi đó Min P là 3 . , ta áp dụng cauchy cho 3 số không âm :
$P\geq 3\sqrt[6]{\frac{\prod (a^{2}+b^{2}+c)}{\prod (a+b+c^{2})}}$, Lúc này ta cần chứng minh
$\prod (a^{2}+b^{2}+c)\geq \prod (a+b+c^{2})$.  (1)
Áp dụng BĐT Holder, ta có $(a^{2}+b^{2}+c)(a+b^{2}+c^{2})(1+b^{2}+1)\geq (a+c+b^{2})^{3}$
$(a^{2}+c^{2}+b)(a^{2}+c+b^{2})(a^{2}+1+1)\geq (b+c+a^{2})^{3}$
và $(b^{2}+c^{2}+a)(b+c^{2}+a^{2})(1+c^{2}+1)\geq (b+c^{2}+a)^{3}$
Nhân cùng chiều ba BĐT (2),(3),(4) vào, lúc này ta thấy để (1) đúng thì ta chỉ cần chứng minh $\prod (a^{2}+b^{2}+c)\geq \prod (c^{2}+2)$ (5)
Ta có BĐT phụ sau: Với mọi x+y+z=3 và  x,y,z dương thì ta luôn có $(x^{2}+y^{2}+z)^{2}\geq (x^{2}+2)(y^{2}+2)$
CM: áp dụng cauchy 2 số ta có $VT\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+4)^{2}}{4}$ , ta cần chứng minh $4(x^{2}+y^{2}+z)\geq (x^{2}+y^{2}+4)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2z\geq 4\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2(3-x-y)\geq 4\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}\geq 0$, đúng (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1)
Ta thiết lập các BĐT tương tự bởi a,b,c rồi thay vào sẽ ra BĐT (5), từ đây ta suy ra được điều phải chứng minh
Vậy  Min P = 3 khi và chỉ khi a=b=c=1

 

Đã có tí không cẩn thận!

ĐIỂM: 6

Không biết bị gì mà Latex không chỉnh lại được, thí sinh thông cảm - nhưng bài em đã sót mấy chỗ CD13 tô màu.

 

S = 13 + 6*3 = 31


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 31-03-2013 - 20:51
Chấm bài

TLongHV


#7
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Em xin nhắc lại là mở rộng 1 chỉ áp dụng cho $a_1,...a_n$ dương
2) Mở rộng 2: cho a,b,c là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm min
$B=\sum \sqrt{\frac{a+b^k+c^k}{a^k+b+c}},k\geq 3$
Giải: Theo BĐT AM-GM và $a+b+c=3$ ta có $$B=\sum \frac{a+b^k+c^k}{\sqrt{(a^k+b+c)(a+b^k+c^k)}}\geq \frac{4(a^k+b^k+c^k)+6}{a^k+b^k+c^k+3}$$
Ta chứng minh     $\frac{4(a^k+b^k+c^k)+6}{a^k+b^k+c^k+3}\geq 3$ hay $a^k+b^k+c^k\geq 3$
*Trước hết ta có nhận xét  $a^k+b^k\geq \frac{(a+b)^k}{2^{k-1}}$  hay  $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^k+\left ( \frac{b}{a+b} \right )^k\geq 2.\left ( \frac{1}{2} \right )^k$ (*)
Đặt $t=\frac{a}{a+b}$,$0<t<\frac{1}{2}$
 suy ra $f(t)=t^k+(1-t)^k\geq 2.\left ( \frac{1}{2} \right )^k$
Mà $$f'(t)=k.t^{k-1}-k(1-t)^{k-1}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$$
$\Rightarrow f(t)\geq f\left ( \frac{1}{2} \right )=2.\left ( \frac{1}{2} \right )^k$
Nhận xét được chứng minh
*Mặt khác $a^k+b^k+c^k\geq \frac{(a+b+c)^k}{3^{k-1}}$ hay $P=a^k+b^k+c^k+\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^k\geq 4\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^k$
Thật vậy: Theo (*) thì $P\geq 2\left ( \frac{a+b}{2} \right )^k+2\left ( \frac{c+\frac{a+b+c}{3}}{2} \right )^k\geq 4\left ( \frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4} \right )^k$ $\Leftrightarrow P\geq 4\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^k$
$\Rightarrow a^k+b^k+c^k\geq \frac{3^k}{3^{k-1}}=3$
Vậy $\min B=3$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

ĐIỂM 10


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 28-03-2013 - 14:58


#8
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc. Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Bài của anh Primary là rất hay,cả phần mở rộng của a ấy nữa, chỉ tiếc là e quên mất cái mở rộng :( , còn phần mở rộng 2 của anh ấy e nghĩ có thể làm như sau ngắn hơn chăng . áp dụng BĐT Holder $(a^{k}+b^{k}+c^{k}).3^{k-1}= (a^{k}+b^{k}+c^{k})(1+1+1)(1+1+)...(1+1+1)\geq (a+b+c)^{k}= 3^{k}\Rightarrow a^{k}+b^{k}+c^{k}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 25-03-2013 - 22:13

TLongHV


#10
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Bài của anh Primary là rất hay,cả phần mở rộng của a ấy nữa, chỉ tiếc là e quên mất cái mở rộng :( , còn phần mở rộng 2 của anh ấy e nghĩ có thể làm như sau ngắn hơn chăng . áp dụng BĐT Holder $(a^{k}+b^{k}+c^{k}).3^{k-1}= (a^{k}+b^{k}+c^{k})(1+1+1)(1+1+)...(1+1+1)\geq (a+b+c)^{k}= 3^{k}\Rightarrow a^{k}+b^{k}+c^{k}\geq 3$


Hình như em quên chứng minh BĐT Holder thì phải vì luật thi MHS chỉ giới hạn đến trình độ thi ĐH thôi :) nhưng trong MHS thì ko bik có cho phép sử dụng các cách thi Olympic để giải không


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#11
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Lúc đầu em cũng chưa biết đến BĐT.Holder và ứng dụng của nó giờ thấy em mới biết. Có thể chứng minh BĐT Holder bằng AM-GM cũng được



#12
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Em không hiểu chỗ chấm điểm của e, a @CD13 nói gì về Latex là sao ạ?


TLongHV


#13
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Thông thường bị lỗi Latex là chỉ thiếu 1 dấu  $ thôi cũng bị lỗi toàn bài



#14
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Thông thường bị lỗi Latex là chỉ thiếu 1 dấu  $ thôi cũng bị lỗi toàn bài

Bài em CD13 không tính lỗi Latex mà chấm chỗ ghi không cẩn thận. Chỗ tô màu ấy!

+ Đáng lý ra là VP thì em ghi là VT

+ Đáng lý ra là $4(x^2+y^2+z)^2 \ge (x^2+y^2+4)^2$ nhưng em chỉ ghi $4(x^2+y^2+z) \ge (x^2+y^2+4)^2$.

Đó, CD13 nói không cẩn thận là chỗ đó! Dù hiểu em biết và giải đúng bài này nhưng trình bày thế thì khi thi Đại học vẫn bị trừ điểm thôi em à!



#15
MrVirut

MrVirut

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết

Riêng em thấy những phần mở rộng của Primary  thực chất cũng chỉ là một cách tổng quát hóa bài toán .Không đúng nghĩa mở rộng !


***

Hãy theo đuổi sự ưu tú - thành công sẽ theo đuổi bạn

Hình đã gửi


#16
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Riêng em thấy những phần mở rộng của Primary  thực chất cũng chỉ là một cách tổng quát hóa bài toán .Không đúng nghĩa mở rộng !

Theo em mở rộng là gì, với tổng quát là gì?



#17
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Điểm ra đề:

D = 4*15+8*3+2*2 + 30=118


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh