Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tính tổng một dãy hội tụ nhanh hơn (Phần 1)


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 22-03-2013 - 23:58

pi.jpg
Một trong những kết quả toán học yêu thích nhất của tôi( tác giả Chris Budd) là phương trình nổi tiếng
$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+...$                                (1)

Theo những gì tôi đang quan tâm, thì toán học chính là đây, và nếu phương trình này không chinh phục được bạn thì đơn giản chỉ vì bạn không có tâm hồn. Cái mà phương trình này đã làm là kết nối 2 khái niệm hoàn toàn khác nhau, một bên là số vô tỉ $\pi$, còn một bên là một chuỗi các phân số có mẫu số lẻ. Kết quả thực sự đáng kinh ngạc và có chút thần kì, và đó chính xác đã minh họa cho những thứ bất thường mà toán học có thể liên kết chúng với nhau. Bất cứ khi nào tôi được hỏi về định nghĩa thế nào là toán học tôi chỉ đơn giản viết phương trình trên ra-nếu những gì bạn nghĩ về toán đơn giản chỉ là ngôn ngữ thì hãy nghĩ lại đi.

Phương trình này có một lịch sử tuyệt vời. Nó bắt nguồn ở phương Tây năm 1671 bởi James Gregory từ công thức cho $arctan(x)$ và sau đó được độc lập tìm ra bởi Gottfried Leibniz. Tuy nhiên công thức tương tự( cùng với nhiều kết quả khác bao gồm những chuỗi vô hạn) đã được phát hiện từ trước những năm 30 bởi nhà toán học vĩ đạo người Ấn Độ Madhava. Kết quả tương tự của phương trình tuyệt đẹp này là 1 dãy vô hạn:

$\frac{\pi ^{2}}{6}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+...$                           (2)
$\frac{\pi ^{3}}{32}=1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{7^{3}}+...$                          (3)

$\frac{\pi ^{4}}{90}=1+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{4^{4}}+...$                         (4)

Tuy nhiên, theo 1 nghĩa nào đó, những phương trình trên đã gây thất vọng. Nếu bạn thực sự muốn tính $\pi^{2}, \pi^{3}...$thì có lẽ bạn sẽ không dùng công thức nào trong số chúng-lý do là vì chúng hội tụ rất chậm. Nếu bạn lấy phương trình (1) với tổng của 100 số hạng và nhân với 4, bạn sẽ được $3.146567747182956...$, khá gần với giá trị chính xác nhưng chỉ đúng ở 2 chữ số thập phận. Nếu bạn muốn tính gần đúng đến 6 chữ số thập phân bạn sẽ phải thêm rất nhiều thừa số nữa, các lỗi làm tròn kết hợp với các tính toán sẽ làm độ chính xác giảm đi trầm trọng.

Vậy bạn có thể nói gì đây. Chắc chắn rằng bạn không cần phải biết chính xác giá trị của số $\pi$. Tuy nhiên số $\pi$ ngự trị trong mọi lĩnh vực của công nghệ, toán học…và có nhiều lĩnh vực( với đòi hỏi độ chính xác cao) sẽ cần giá trị của $\pi$ càng chính xác càng tốt. ví dụ trong công nghệ điện tử cao tần, với tần số khoảng 1GHz những kĩ sư điện tử sẽ phải làm việc với những hàm dạng 
$u(t)=cos(2\pi ft)$ $f$ xấp xỉ 10^9 và $t$ là 1 số gần tới 1. Để tính chĩnh xác hàm $u(t)$ cần cho các máy GPS cần một độ chính xác của $\pi$ cỡ $10^{15}$.

Vì vậy sống trong một thế giới hiện đại có nghĩa là ta cần biết giá trị của $\pi$ càng chính xác càng tốt.
Vậy chúng ta có thể làm gì?Có một cách là ta nhập thật nhiều số hạng trong dãy 1 vào 1 máy tính xịn và chờ đợi máy tính tính. Hoặc chúng ta có thể cố và tăng tốc độ hội tụ của nó. Vì vậy chỉ với một số lượng nhỏ số hạng( 10 chẳng hạn) ta có thể nhận được 10 số đáng kể cho $\pi$. Điều tuyệt vời này là những công thức mà một sinh viên năm nhất đại học hoặc 1 học sinh loại A hoàn toàn có thể hiểu được. Về nguyên tắc phương pháp này có thể được dùng để tính tổng những dãy hội tụ khác.

Xét dãy 


$S_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$       (5)

$S_{n}\rightarrow S$ khi $n\rightarrow \infty $
graph1.png
Đồ thị $S_{n}$ 

Đặt $E_{n}=S-S_{n}$ do đó $E_{n}\rightarrow 0$ khi $n\rightarrow \infty$
 

graph2.png
(Hình trái) Đồ thị $E_{n}$; (Hình phải) Đồ thị $nE_{n}$

Từ đây, ta có thể đoán rằng $E_{n}\approx \frac{1}{n}$, vì vậy

$S=S_{n}+\frac{1}{n}$

Chúng ta có thể cải thiện phép gần đúng này bằng cách giả sử có 1 dãy $B_{0},B_{1},B_{2},...$ với $n\rightarrow \infty$

$S=S_{n}+\frac{B_{0}}{n}+\frac{B_{1}}{n^{2}}+...$           (6)

Nếu có thể tính các giá trị của $B_{r}$ với $r=1,2,3,...,k$ thì có thể tính được $S$ từ $S_{n}$ bằng công thức

$S\approx S_{n}+\frac{B_{0}}{n}+\frac{B_{1}}{n^{2}}+...+\frac{B_{k-1}}{n^{k}}$

Nguồn: http://plus.maths.or...dd-quickly#skip

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 23-03-2013 - 11:12





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh