Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tính tổng một dãy hội tụ nhanh hơn (Phần 2)


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 23-03-2013 - 11:09

Vậy làm thế nào để tìm các phần tử thuộc dãy $B_{r}$. Có một cách rất đẹp để tính toán những giá trị này.

Nếu ta lấy phương trình (6), thay thế $n$ bằng $n-1$ thì ta được

$S=S_{n-1}+\frac{B_{0}}{n-1}+\frac{B_{1}}{(n-1)^{2}}+\frac{B_{2}}{(n-1)^{3}}+...$                     (7)

Do đó

$S_{n-1}-S_{n}=B_{0}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1})+B_{1}(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n-1^{2})})+...$   (8)

Từ định nghĩa $S_{n}-S_{n-1}=\frac{1}{n^{2}}$

Kết hợp 2 phương trình trên ta được

$\frac{1}{n^{2}}=B_{0}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1})+B_{1}(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n-1^{2})})+...$     (9)

Ta có thể tìm giá trị của từng $B_{k}$ bằng cách mở rộng các biểu thức có lũy thừa của $\frac{1}{n}$ với$n$ rất lớn. Ví dụ:

$\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n(1-\frac{1}{n})}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}+...$



$\frac{1}{(n-1)^{2}}=\frac{1}{n^{2}(1-\frac{1}{n})^{2}}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{3}{n^{4}}+...$

Tổng quát:

$\frac{1}{(n-1)^{k}}=\frac{1}{n^{k}(1-\frac{1}{n})^{k}}=\frac{1}{n^{k}}+\frac{k}{n^{k+1}}+\frac{k+1}{n^{k+2}}+...+\frac{\begin{pmatrix} k+r-1\\ r \end{pmatrix}}{n^{k+r}}+...$

Ở đây, $\begin{pmatrix} k+r-1\\ r \end{pmatrix}=\frac{k(k+1)...(k+r-1)}{r!}$

Những khai triển trên chính là Khai triển Taylor. Bây giờ ta kết hợp những khai triển trên vào phương trình (9):

$\frac{1}{n^{2}}=B_{0}(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}+...)+B_{1}(\frac{2}{n^{3}}+\frac{3}{n^{4}}+...)+...+B_{k-1}(\frac{k}{n^{k+1}}+\frac{k(k+1)}{2n^{k+2}}+...+\begin{pmatrix} k+r-1\\ r \end{pmatrix}\frac{1}{n^{k+r}}+...)+...$   (10)

sử dụng phương pháp cân bằng hệ số ta có thể tìm được các giá trị của $B_{r}$

$B_(0)=1$

$B_{0}+2B_{1}=0$

$B_{0}+3B_{1}+3B_{2}=0$

Thế giá trị của $B_{0}$ vào các biểu thức dưới ta tìm được $B_{1}=\frac{-1}{2}, B_{2}=\frac{1}{6}$

Tiếp tục như thế ta tính được tất cả các giá trị của $B_{r}$

$B_{k-1}=\frac{-1}{k}(\binom{k}{2}B_{k-2}+\binom{k}{3}B_{k-3}+...+B_{0})$

Ta nhận thấy rằng nếu $k$ là số lẻ lớn hơn 1 thì $B_{k}=0$. Những con số mà chúng ta tính đều khá nhỏ và tăng rất nhanh khi tăng $k$. Chúng được gọi là số Bernoulli, chúng xuất hiện ở nhiều nơi, từ lý thuyết số đến cơ học. Jakob Bernoulli đã miêu tả chúng trng cuốn sách Ars Conjectandi-xuất bản năm 1713. Kể từ đó chúng chiếm 1 vai trò quan trọng trong lịch sử toán học. Ví dụ, chúng rất quan trọng trong việc hiểu được định lý lớn Fermat...

Trở lại với bài toán ban đầu, ta có;

$E_{n,k}=\frac{B_{0}}{n}+\frac{B_{1}}{n^{2}}+...+\frac{B_{k-1}}{n^{2}}$         (13)

$S\approx S_{n}+E_{n,k}$

Ví dụ lấy $n=k=10$ thì:

$S=S_{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{6n^{3}}-\frac{1}{30n^{5}}+\frac{1}{42n^{7}}-\frac{1}{30n^{9}}+\alpha (\frac{1}{n^{11}})$

Số hạng cuối cùng chính là sai số của phép tính. Với 10 số hạng ta có sai số cỡ $10^{-11}$-một sự cải thiện tuyệt vời so với cách tính cũ. 

Nguồn: http://plus.maths.or...dd-quickly#skip

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachocdien: 23-03-2013 - 11:13





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh