Cho $x,y,z$ thỏa mãn $0\leq x\leq 2,0\leq y\leq 2,0\leq z\leq 2$ và $x+y+z=3$. CMR: $x^3+y^3+z^3\leq 9$
CMR: $x^3+y^3+z^3\leq 9$
Bắt đầu bởi Forgive Yourself, 23-03-2013 - 18:36
#1
Đã gửi 23-03-2013 - 18:36
Forgive Yourself
-
- Thành viên
-
- 473 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 23-03-2013 - 20:38
Christian Goldbach
-
- Thành viên
-
- 351 Bài viết
Sĩ quan
Trước hết ta cm bài toán: Cho x,y$\in$[-1;1],và x+y+z=0.CMR :$x^2+y^2+z^2\leq 2$
*Vì $x,y\in [-1;1]\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)+(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0\Rightarrow 1-x-y-z-xyz+xy+yz+xz+1+xy+yz+xz+x+y+z+xyz\geq 0\Rightarrow 2+2(xy+yz+xz)\geq 0\Rightarrow 2\geq -2(xy+yz+xz)=-(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2\Rightarrow 2\geq x^2+y^2+z^2$.
Trở lại bài toán ta đặt: x=a+1;y=b+1;z=c+1.Khi đó bt trở thành cho a+b+c=0;$a,b,c\in [-1;1]$,CM: $(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3\leq 9$
Ta có:$(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2+b^2+c^2)+3(a+b+c)+3$
Vì a+b+c=0 và $a,b,c\in [-1;1]\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq a+b+c=0$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2+b^2+c^2)+3\leq 3(a^2+b^2+c^2)+3$.Mà $a^2+b^2+c^2\leq 2$(cmt)$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3(a^2+b^2+c^2)+3\leq 9$
*Vì $x,y\in [-1;1]\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)+(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0\Rightarrow 1-x-y-z-xyz+xy+yz+xz+1+xy+yz+xz+x+y+z+xyz\geq 0\Rightarrow 2+2(xy+yz+xz)\geq 0\Rightarrow 2\geq -2(xy+yz+xz)=-(x+y+z)^2+x^2+y^2+z^2\Rightarrow 2\geq x^2+y^2+z^2$.
Trở lại bài toán ta đặt: x=a+1;y=b+1;z=c+1.Khi đó bt trở thành cho a+b+c=0;$a,b,c\in [-1;1]$,CM: $(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3\leq 9$
Ta có:$(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2+b^2+c^2)+3(a+b+c)+3$
Vì a+b+c=0 và $a,b,c\in [-1;1]\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq a+b+c=0$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2+b^2+c^2)+3\leq 3(a^2+b^2+c^2)+3$.Mà $a^2+b^2+c^2\leq 2$(cmt)$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3(a^2+b^2+c^2)+3\leq 9$
- Oral1020, Math269999, nguyencuong123 và 2 người khác yêu thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
