Chủ đề này có 1 trả lời

[zone]

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq \frac{26}{3}$
Với x,y,z thuộc [1;3]
Các bạn giúp mình nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zone: 23-03-2013 - 22:06

[Strygwyr]

bài này bạn có thể giả sử x $\leq$ y $\leq$ z rồi dồn bất đẳng thức cần chứng minh về 2 biến x và z là được

đây là ý tưởng của mình $\frac{x}{y} \leq 1 và \frac{y}{z} \leq 1$ nên $(\frac{x}{y}-1)(\frac{y}{z}-1)\geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$

Chứng minh tương tự ta có $\sum (\frac{x}{y}+\frac{x}{z}) \leq 2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2$

Lại có $\frac{x}{z}\leq 1$,$ \frac{z}{x}\leq 3$ nên $(\frac{x}{z}-1)(\frac{z}{x}-3)\geq 0 \Leftrightarrow 3\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 4$

Chú ý rằng $\frac{x}{z}\geq \frac{1}{3}$ nên ta có $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq \frac{10}{3}$

$\Rightarrow \sum (\frac{x}{y}+\frac{x}{z}) \leq \frac{26}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 24-03-2013 - 10:37