0< p+q $\leq 2$
cho $p^{3}+q^{3}=2$. Chứng minh rằng:
#1
Đã gửi 24-03-2013 - 12:17
#2
Đã gửi 24-03-2013 - 14:42
Ta có:$p^3+q^3=(p+q)(p^2+pq+q^2)$$ Vì p^3+q^3=2;p^2+q^2-pq> 0\Rightarrow p+q> 0$
+)cm p+q<=2
Áp dụng BĐT C.S ta có: $p+q\leq \left | p+q \right |=\left | \sqrt{p^3.\frac{1}{p}}+\sqrt{q^3.\frac{1}{q}} \right |\leq \sqrt{(p^3+q^3)(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})}=\sqrt{2.\frac{p+q}{pq}}\Rightarrow (p+q)^2\leq 2\frac{p+q}{p^2q^2}$(1)
Mà $p^3+q^3+1=3\geq 3pq\Rightarrow pq\leq 1\Rightarrow p^2q^2\leq 1\Rightarrow 2\frac{p+q}{p^2q^2}\geq 2(p+q)$(2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow p+q\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMathCSKH0110: 24-03-2013 - 15:44
- caybutbixanh và Math269999 thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#3
Đã gửi 24-03-2013 - 14:51
0< p+q $\leq 2$
Ta có $p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=2>0$
Mà $p^2-pq+q^2>0$ $\Rightarrow p+q>0$
Giả sử $p+q>2$
$\Rightarrow p^2-pq+q^2<1\Rightarrow (p+q)^2-3pq<1 \Rightarrow pq>1$
Lại có $2=p^3+q^3\geq pq(p+q)>2pq\rightarrow pq<1$
Mâu thuẫn nên $0<p+q\leq 2$
- Math269999, fa4ever, mat troi be nho và 1 người khác yêu thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh