Chủ đề này có 6 trả lời

[duc321999real]

Cho a,b,c >0. a+b+c=3  Tìm Max:

$\Sigma ab(a^{2}+b^{2})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duc321999real: 24-03-2013 - 19:40

[duc321999real]

Nhầm đề SR các bạn nhé . Giả thiết là $\Sigma a^{2}=3$

[mrjackass]

Cho a,b,c >0. a+b+c=3  Tìm Max:

$\Sigma ab(a^{2}+b^{2})$

AM-GM cho 3 số như sau 
$\sum ab(a^2+b^2)=(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a) \leq (\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{b^3+c^3+c^3}{3}+\frac{c^3+a^3+a^3}{3})+(\frac{a^3+a^3+b^3}{3}+\frac{b^3+b^3+c^3}{3}+\frac{c^3+c^3+a^3}{3})=6$
Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

[duc321999real]

giải sai r` bạn ơi vì x^2+y^2+z^2=3 mà. ngược dấu rồi

[Christian Goldbach]

AM-GM cho 3 số như sau 
$\sum ab(a^2+b^2)=(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a) \leq (\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{b^3+c^3+c^3}{3}+\frac{c^3+a^3+a^3}{3})+(\frac{a^3+a^3+b^3}{3}+\frac{b^3+b^3+c^3}{3}+\frac{c^3+c^3+a^3}{3})=6$
Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

 $\sum ab(a^2+b^2)=\sum a^3b+ab^3$ chứ?

[Christian Goldbach]

Cho a,b,c >0. a+b+c=3  Tìm Max:

$\Sigma ab(a^{2}+b^{2})$

$\sum ab(a^2+b^2)=\sum a^3b+ab^3\leq \sum \frac{a^4+a^4+a^4+b^4}{4}+\frac{a^4+b^4+b^4+b^4}{4}=2(a^4+b^4+c^4)$

[mrjackass]

$\sum ab(a^2+b^2)=\sum a^3b+ab^3\leq \sum \frac{a^4+a^4+a^4+b^4}{4}+\frac{a^4+b^4+b^4+b^4}{4}=2(a^4+b^4+c^4)$

Bác thông cảm hnay em mới lên sửa được. Áp dụng BĐT AM-GM: $a+b+c \leq \frac{a^3+1+1}{3}+\frac{b^3+1+1}{3}+\frac{c^3+1+1}{3}=3$

Mặt khác, $a,b,c$ vai trò tương đương nên Giả sử $a \geq b \geq c$. Khi đó" $a^3 \geq b^3 \geq c^3$ và $b+c \leq c+a \leq a+b$

Áp dụng BĐT Chebyshev:

$\sum ab(a^2+b^2)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b) \leq \frac{1}{3}(a^3+b^3+c^3)(b+c+c+a+a+b)=\frac{2(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)}{3}\leq\frac{2.3.3}{3}=6$

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 31-03-2013 - 00:09