Chủ đề này có 1 trả lời

[hungpronc1]

cho 3 số phức z1,z2,z3 có mô đun =1 CMR:

$\left | z1z2+z1z3+z2z3 \right |=\left | z1+z2+z3 \right |$

[PT42]

Vì $z_{1}, z_{2},z_{3}$ có môđun bằng 1 nên tồn tại $ \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3} $ sao cho :

$\left\{\begin{matrix} z_{1} = cos\alpha _{1} + i sin\alpha _{1}\\z_{2} = cos\alpha _{2} + i sin\alpha _{2} \\z_{3} = cos \alpha _{3} + i sin\alpha _{3} \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow$ $z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3}+ z_{3}z_{1}$ = ($cos(\alpha _{1}+\alpha _{2}) + cos (\alpha _{2}+\alpha _{3}) + cos(\alpha _{3}+\alpha _{1})$) +

i ($sin(\alpha _{1}+\alpha _{2}) + sin(\alpha _{2}+\alpha _{3}) + sin(\alpha _{3}+\alpha _{1})$)

 

và $z_{1}+z_{2}+z_{3}$ = ($cos\alpha _{1}+ cos\alpha _{2}+ cos\alpha _{3}$) + i ($sin\alpha _{1}+ sin\alpha _{2}+ sin\alpha _{3}$)

 

 

Từ đó ta có

$\left | z_{1}z_{2}+ z_{2}z_{3} + z_{3}z_{1} \right | = \left | z_{1}+z_{2}+z_{3} \right |$ (1)

$\Leftrightarrow$ $(cos(\alpha _{1}+\alpha _{2}) + cos (\alpha _{2}+\alpha _{3})+ cos(\alpha _{3}+ \alpha _{1}))^{2}$ + $(sin(\alpha _{1}+\alpha _{2}) + sin(\alpha _{2}+\alpha _{3})+ sin(\alpha _{3}+ \alpha _{1}))^{2}$ = $(cos\alpha _{1}+ cos\alpha _{2}+ cos\alpha _{3})^{2}$ + $(sin\alpha _{1}+ sin\alpha _{2}+ sin\alpha _{3})^{2}$

$\Leftrightarrow$ 3 + 2 ($cos(\alpha_{1}+ \alpha _{2}). cos(\alpha _{2} + \alpha _{3}) + sin(\alpha_{1}+ \alpha _{2}). sin(\alpha _{2} + \alpha _{3}) $ +$cos(\alpha_{2}+ \alpha _{3}). cos(\alpha _{3} + \alpha _{1}) + sin(\alpha_{2}+ \alpha _{3}). sin(\alpha _{3} + \alpha _{1})$ + $cos(\alpha_{3}+ \alpha _{1}). cos(\alpha _{1} + \alpha _{2}) + sin(\alpha_{3}+ \alpha _{1}). sin(\alpha _{1} + \alpha _{2})$ ) = 3 + 2 ($(cos\alpha _{1}.cos\alpha _{2} + sin\alpha _{1}sin\alpha _{2})$  + $(cos\alpha _{2}.cos\alpha _{3} + sin\alpha _{2}sin\alpha _{3})$ + $(cos\alpha _{3}.cos\alpha _{1} + sin\alpha _{3}sin\alpha _{1})$ )

$\Leftrightarrow$ $cos((\alpha_{1}+\alpha_{2}) - (\alpha _{2}+\alpha _{3}))$ + $cos((\alpha_{2}+\alpha_{3}) - (\alpha _{3}+\alpha _{1}))$ + $cos((\alpha_{3}+\alpha_{1}) - (\alpha _{1}+\alpha _{2}))$ = $cos(\alpha _{1}- \alpha _{2})$ + $cos(\alpha _{2}- \alpha _{3})$ + $cos(\alpha _{3}- \alpha _{1})$ (2)

Dễ thấy (2) đúng $\Rightarrow$ (1) đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 18-06-2013 - 10:24