TRƯỜNG THPT CHUYÊN QB. ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG.
TỔ TOÁN ĐỘI TUYỂN HSG 11 NĂM 2013.
Môn TOÁN. Thời gian 180 phút.
Lần thứ 4 ( 23/03/2013)
Bài 1.(2.0điểm).Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\\ (1-x)(y+1)=2 \end{matrix}\right.$.
Bài 2.(3.0 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình $x^5-2x-2=0$ luôn có nghiệm x0 thoã mãn: $\sqrt[9]{16}< x_0 <2$
2. Cho dãy số (un) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=2013^{-1}\\ 2^n u_{n+1}=\left | 2^n u_n-1 \right | \end{matrix}\right.$
Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số (un). Tìm lim(un)
.
Bài 3.(2.5 điểm). Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho $\frac{MA}{MC}=k$( k>1 là số dương cho trước). Mặt phẳng (P) qua M và song song với (A’BD) cắt đường chéo AC’ của hình hộp tại N.
a) Tính tỉ số $\frac{AN}{AC'}$
b) Với giá trị nào của k thì mặt phẳng (P) cắt các cạnh của hình hộp tại các trung điểm của các cạnh này.
Bài 4.( 1.5 điểm). Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. CMR:.
$\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^3+a^3}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}} < 2\sqrt[3]{4}$
Bài 5.( 1điểm). Cho $m,k \in \mathbb{N}^*$ thoả mãn điều kiện $1< k \le n, m > 1$. Hỏi có bao nhiêu chỉnh hợp chập k: $(a_1;a_2;...a_k)$của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi chỉnh hợp đó đều thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:
i. tồn tại $i, j \in \left \{ 1,2,...k \right \}$ sao cho $i < j$ và $a_i > a_j$
ii. $ i \in \left \{ 1,2,...k \right \}$sao cho ai – i không chia hết cho m.
HẾT.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 28-03-2013 - 15:46