Chủ đề này có 6 trả lời

[Sagittarius912]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QB.             ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG.

                 TỔ TOÁN                                 ĐỘI TUYỂN HSG 11 NĂM 2013.

                                                                     Môn TOÁN.  Thời gian 180 phút.

      Lần thứ 4 ( 23/03/2013)

 

 

 

 Bài 1.(2.0điểm).Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\\ (1-x)(y+1)=2 \end{matrix}\right.$.

Bài 2.(3.0 điểm).

1.     Chứng minh rằng phương trình  $x^5-2x-2=0$ luôn có nghiệm x₀  thoã mãn: $\sqrt[9]{16}< x_0 <2$

2.     Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=2013^{-1}\\ 2^n u_{n+1}=\left | 2^n u_n-1 \right | \end{matrix}\right.$

Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số (u_n). Tìm lim(u_n)

.

Bài 3.(2.5 điểm).  Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên đường chéo AC lấy điểm M sao cho $\frac{MA}{MC}=k$( k>1 là số dương cho trước). Mặt phẳng (P) qua M và song song với (A’BD) cắt đường chéo AC’ của hình hộp tại N.

a)     Tính tỉ số $\frac{AN}{AC'}$

b)    Với giá trị nào của k thì mặt phẳng (P) cắt các cạnh của hình hộp tại các trung điểm của các cạnh này.

Bài 4.( 1.5 điểm). Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. CMR:.

$\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^3+a^3}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}} < 2\sqrt[3]{4}$

Bài 5.( 1điểm). Cho $m,k \in \mathbb{N}^*$ thoả mãn điều kiện $1< k \le n, m > 1$. Hỏi có bao nhiêu chỉnh hợp chập k: $(a_1;a_2;...a_k)$của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi chỉnh hợp đó đều thoả mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:

i.        tồn tại  $i, j \in  \left \{ 1,2,...k \right \}$ sao cho $i < j$ và $a_i > a_j$

ii.      $ i \in \left \{ 1,2,...k \right \}$sao cho a_i – i không chia hết cho m.

 

 

 

                                                                    HẾT.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 28-03-2013 - 15:46

[thukilop]

 Bài 1.(2.0điểm).Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\\ (1-x)(y+1)=2 \end{matrix}\right.$.

 

$\boxed{Solution}$

- Dùng AM-GM ta có 

$x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+1-y^{2}+y^{2}+1-x^{2}}{2}=1$

=> $x^{2}+y^{2}=1$

-Kết hợp với pt thứ 2 rồi giải tiếp

(bài này nhẩm có nghiệm $x=-1,y=0$ và $x=0,y=1 $, không biết còn xót nghiệm nào không?)

p/s: chức năng xóa bài của VMF đâu rồi nhỉ, lỡ post cái đề trên kia, muốn xóa không được  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 24-03-2013 - 22:27

[Sagittarius912]

$\boxed{Solution}$

- Dùng AM-GM ta có 

$x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{x^{2}+1-y^{2}+y^{2}+1-x^{2}}{2}=1$

=> $x^{2}+y^{2}=1$

-Kết hợp với pt thứ 2 rồi giải tiếp

(bài này nhẩm có nghiệm $x=-1,y=0$ và $x=0,y=-1 $, không biết còn xót nghiệm nào không?)

p/s: chức năng xóa bài của VMF đâu rồi nhỉ, lỡ post cái đề trên kia, muốn xóa không được  

$x,y$ chưa chắc đã >0

[phanquockhanh]

Bài 2.(3.0 điểm).

1.     Chứng minh rằng phương trình  $x^5-2x-2=0$ luôn có nghiệm x₀  thoã mãn: $\sqrt[9]{16}

2.     Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=2013^{-1}\\ 2^n u_{n+1}=\left | 2^n u_n-1 \right | \end{matrix}\right.$

Chứng minh tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy số (u_n). Tìm lim(u_n)

2)Chứng minh:$0\leq u_{n} \leq 2^{1-n}$$\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ (1)

Với n=1 ta có:$u_{1}=\frac{1}{2013}$ thỏa mãn

Giả sử (1) đúng với n=k tức là :$0\leq u_{k} \leq 2^{1-k}\forall k\in \mathbb{N}^{*}$

Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1

Ta có:$u_{k+1}=\left | u_{k} -2^{1-k}\right |\geq 0$.Theo giả thiết quy nạp ta có:

$u_{k}-2^{-k}\leq 2^{1-k}-2^{-k}\Rightarrow u_{k}-2^{-k}\leq 2^{-k}\Rightarrow u_{k+1}\leq 2^{-k}= 2^{1-(k+1)}\Rightarrow Q.E.D$

Mà $\lim_{n\rightarrow+ \infty }2^{1-n}=0$.

Do đó:$\lim_{n\rightarrow+ \infty }u_{n}=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 25-03-2013 - 19:14

[VNSTaipro]

Bài 4.( 1.5 điểm). Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác. CMR:.

$\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}+\frac{b}{\sqrt[3]{c^3+a^3}}+\frac{c}{\sqrt[3]{a^3+b^3}} < 2\sqrt[3]{4}$                                                          

BDT $\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}<2\sqrt[3]{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}<2$

Có $\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+3(a^{3}+b^{3})}$

$\geq \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+3ab^{2}+3a^{2}b}$ ($a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}$)

Nên $BDT\Leftrightarrow  \sum \frac{a}{b+c}<2$

___________

@ 912Tiếp đi anh , sao dừng giữa chừng thế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 25-03-2013 - 20:46

[VNSTaipro]

Vì $a>0$ nên $\sum \frac{a}{b+c}<\sum \frac{a+a}{(b+c)+a}=2$

BDT $\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}}<2\sqrt[3]{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}<2$

Có $\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+3(a^{3}+b^{3})}$

$\geq \sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+3ab^{2}+3a^{2}b}$ ($a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}$)

Nên $BDT\Leftrightarrow  \sum \frac{a}{b+c}<2$

Đến đây sử dụng bđt 

 

$\Leftrightarrow a< b+c$ (đúng)

Tương tự và cộng lại, ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 25-03-2013 - 21:00

[thanhelf96]

bài 1:
+) ta có : $x,y\epsilon \left [ -1;1 \right ]$
đặt  $x=cosu ; y=cosv$ với $x,y\epsilon \left [ 0;\frac{\Pi }{2} \right ]$
$\left\{\begin{matrix} cosvsinv+cosvsinu=1 & \\ & (1-cosv)(1-cosu)=2 \end{matrix}\right.$