Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Black Paradise
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 25-03-2013 - 11:53

cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#2 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 25-03-2013 - 12:02

Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1


TLongHV


#3 pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Black Paradise
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 25-03-2013 - 12:03

Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1

còn cách làm khác ko mình ko hiểu


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#4 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 25-03-2013 - 12:05

còn cách làm khác ko mình ko hiểu

Bạn chưa hiểu chỗ nào???


TLongHV


#5 pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Black Paradise
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 25-03-2013 - 12:09

Bạn chưa hiểu chỗ nào???

XÌ CHƠ và cầu chì 3 số là gì???


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#6 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 25-03-2013 - 12:13

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1

BÀi làm sai rồi


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#7 pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Black Paradise
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 25-03-2013 - 12:17

BÀi làm sai rồi

Bạn có cách làm khác ko chỉ mình với


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#8 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 25-03-2013 - 12:22

BÀi làm sai rồi

Sai chỗ nào hả bạn??mình làm đúng rồi mà, có lẽ bạn nhầm ở đâu đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 25-03-2013 - 12:34

TLongHV


#9 Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 25-03-2013 - 12:28

cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Lời giải 1: 
Ta sẽ sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bài toán. Bất đẳng thức được chuyển về dạng tam thức bậc hai như sau:
$$f(a)=a^2+2a(bc-b-c)+(b-c)^2+1\geq 0$$
* Nếu $bc\geq b+c$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.
* Xét trường hợp ngược lại $bc\leq b+c$, và điều này tương đương với $(b-1)(c-1)\leq 1$. Khi đó ta tính được biệt thức $\Delta '$ của $f(a)$ là:
$$\Delta '=(bc-b-c)^2-(b-c)^2-1=bc(b-2)(c-2)-1$$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Có đúng một trong hai số $b, c$ lớn hơn $2$, số còn lại không lớn hơn $2$. Trong trường hợp này ta có $(b-2)(c-2)\leq 0$ từ đó suy ra $\Delta '\leq 0$.
Trường hợp 2: Cả hai số $b, c$ đều không lớn hơn 2. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có :
$$\Delta '=bc(2-b)(2-c)-1\leq \left[\frac{b+c+(2-b)+(2-c)}{4}\right]^4-1= 0.$$

Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có $\Delta '\leq 0$. Tức $f(a)\geq 0$ và đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

Lời giải 2: Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số $a, b, c$ sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc cùng $\leq 1$. Giả sử hai số đó là $a, b$ khi đó:
$$(a-1)(b-1)\geq 0.$$
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$$
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.

Lời giải 3: Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử $c$ là số bé nhất và đặt:
$$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$$
Ta có:
$$f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geq 0$$
Do đó $f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$, vậy ta chỉ cần chứng minh $f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)\geq 0$.
Thật vậy, nếu đặt $t=\sqrt{ab}$ thì ta có:
$$f(t,t,c)=2t^2+c^2+2t^2c-2(t^2+2tc)+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geq 0$$
Bài toán được chứng minh xong.

Lời giải 4: Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$$
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
$$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.

 

Nguồn: Bài viết trên diendantoanhoc.net của anh Huyện


~~~like phát~~~

#10 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 25-03-2013 - 12:43

Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1

Mong bạn đừng dùng những thuật ngữ như thế. Một phần là vì có thể người ra bài là những mem  mới, không hiểu được cái thuật ngữ mà bạn nói đâu; một phần là đây cũng là văn hóa toán học đấy, nên tôn trọng cái tên của những bđt quan trọng này

 

 

BÀi làm sai rồi

Đúng rồi mà Tuấn

Theo Schur:

$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$  (*)

Biến đổi theo $p=a+b+c$ $q=ab+bc+ca$ $r=abc$ ta có

$(*)\Leftrightarrow p^3+9r\ge 4pq$   (1)

 

Còn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow p^2-2q+\frac{9r}{p}\ge 2q$

$\Leftrightarrow p^2+\frac{9r}{p}\ge 4q$   (2)

Dễ thấy (1) chính là (2)



#11 Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội
  • Sở thích:nhiều lắm!!!

Đã gửi 25-03-2013 - 17:48

Cách làm chế từ lời giải 2:

(a1)(b1)0.

-theo nguyên lí dirichlet thì trong 3 số (a-1);(b-1);(c-1) có ít nhất 2 số cùng dấu

*Không mất tính tổng quát nếu gs a-1 và b-1 cùng dấu do đó (a-1)(b-1)$\geq 0$  suy ra ab-a-b+1>=0

*Vì c>0 $\Rightarrow abc+c\geq ac+bc\Rightarrow 2abc\geq 2ac+2bc-2c$..Do đó : $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2bc+2ac-2c+1$.Ta xét:

$a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1-2(ab+bc+ca)=(c-1)^2+(a-b)^2\geq 0$.Do đó $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1\geq 2(ab+bc+ca)$


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#12 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 11-06-2016 - 09:45

Bài này xin đóng góp cách Chứng minh bằng nguyên lý Dirichlet.

Luôn tồn tại 2 trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) cùng dấu , ko mất tổng quát, giả sử 

$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow 2c(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow 2abc\geq 2(ac+bc-c)$

Vậy ta chứng minh: $a^2+b^2+c^2+1+2(ac+bc-c)\geq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2\geq 0$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$


#13 Gokai Silver

Gokai Silver

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thanh hóa
  • Sở thích:meo

Đã gửi 04-08-2016 - 10:54

các bạn làm hộ mình bài này vs

cmr: a2 + b2 c2  bé hơn bằng 5

với 0$<=$ a,b,c$$<=$ 2. và a+b+c=3

mình không biết viết mong mọi người thông cảm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gokai Silver: 04-08-2016 - 10:56


#14 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1734 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 07-08-2016 - 17:02

các bạn làm hộ mình bài này vs

cmr: a2 + b2 c2  bé hơn bằng 5

với 0$<=$ a,b,c$$<=$ 2. và a+b+c=3

mình không biết viết mong mọi người thông cảm

Ta có: $a,b,c\in [0;2]\implies (2-a)(2-b)(2-c)\ge 0\iff 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\ge 0$

$\iff 2(ab+bc+ca)\ge 4(a+b+c)+abc-8$.

Mà $a+b+c=3,abc\ge 0\implies 2(ab+bc+ca)\ge 4$.

Khi đó: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca)\le 5(dpcm)$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.
  • Bồ-đề-đạt-ma là đệ tử và truyền nhân của Tổ thứ 27, Bát-nhã-đa-la (sa. prajñādhāra) và là thầy của Huệ Khả, Nhị tổ Thiền Trung Quốc. Sự tích truyền pháp của Bát-nhã-đa-la cho Bồ-đề-đạt-ma được truyền lại như sau:

    Tổ hỏi: "Trong mọi thứ, thứ gì vô sắc?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Vô sinh vô sắc". Tổ hỏi tiếp: "Trong mọi thứ, cái gì vĩ đại nhất?" Bồ-đề-đạt-ma đáp: "Phật pháp vĩ đại nhất".




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh