Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#2
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1


TLongHV


#3
pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1

còn cách làm khác ko mình ko hiểu


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#4
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

còn cách làm khác ko mình ko hiểu

Bạn chưa hiểu chỗ nào???


TLongHV


#5
pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Bạn chưa hiểu chỗ nào???

XÌ CHƠ và cầu chì 3 số là gì???


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#6
IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1

BÀi làm sai rồi


Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#7
pinokio119

pinokio119

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

BÀi làm sai rồi

Bạn có cách làm khác ko chỉ mình với


Người yêu ơi có biết rằng anh rất nhớ em ?

Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.

Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.

Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.

#8
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

BÀi làm sai rồi

Sai chỗ nào hả bạn??mình làm đúng rồi mà, có lẽ bạn nhầm ở đâu đó


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 25-03-2013 - 12:34

TLongHV


#9
Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết

cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Lời giải 1: 
Ta sẽ sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bài toán. Bất đẳng thức được chuyển về dạng tam thức bậc hai như sau:
$$f(a)=a^2+2a(bc-b-c)+(b-c)^2+1\geq 0$$
* Nếu $bc\geq b+c$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.
* Xét trường hợp ngược lại $bc\leq b+c$, và điều này tương đương với $(b-1)(c-1)\leq 1$. Khi đó ta tính được biệt thức $\Delta '$ của $f(a)$ là:
$$\Delta '=(bc-b-c)^2-(b-c)^2-1=bc(b-2)(c-2)-1$$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Có đúng một trong hai số $b, c$ lớn hơn $2$, số còn lại không lớn hơn $2$. Trong trường hợp này ta có $(b-2)(c-2)\leq 0$ từ đó suy ra $\Delta '\leq 0$.
Trường hợp 2: Cả hai số $b, c$ đều không lớn hơn 2. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có :
$$\Delta '=bc(2-b)(2-c)-1\leq \left[\frac{b+c+(2-b)+(2-c)}{4}\right]^4-1= 0.$$

Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có $\Delta '\leq 0$. Tức $f(a)\geq 0$ và đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$

Lời giải 2: Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số $a, b, c$ sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc cùng $\leq 1$. Giả sử hai số đó là $a, b$ khi đó:
$$(a-1)(b-1)\geq 0.$$
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$$
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.

Lời giải 3: Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử $c$ là số bé nhất và đặt:
$$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$$
Ta có:
$$f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geq 0$$
Do đó $f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$, vậy ta chỉ cần chứng minh $f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)\geq 0$.
Thật vậy, nếu đặt $t=\sqrt{ab}$ thì ta có:
$$f(t,t,c)=2t^2+c^2+2t^2c-2(t^2+2tc)+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geq 0$$
Bài toán được chứng minh xong.

Lời giải 4: Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$$
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
$$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.

 

Nguồn: Bài viết trên diendantoanhoc.net của anh Huyện


~~~like phát~~~

#10
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m  đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1

Mong bạn đừng dùng những thuật ngữ như thế. Một phần là vì có thể người ra bài là những mem  mới, không hiểu được cái thuật ngữ mà bạn nói đâu; một phần là đây cũng là văn hóa toán học đấy, nên tôn trọng cái tên của những bđt quan trọng này

 

 

BÀi làm sai rồi

Đúng rồi mà Tuấn

Theo Schur:

$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$  (*)

Biến đổi theo $p=a+b+c$ $q=ab+bc+ca$ $r=abc$ ta có

$(*)\Leftrightarrow p^3+9r\ge 4pq$   (1)

 

Còn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow p^2-2q+\frac{9r}{p}\ge 2q$

$\Leftrightarrow p^2+\frac{9r}{p}\ge 4q$   (2)

Dễ thấy (1) chính là (2)



#11
Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết

Cách làm chế từ lời giải 2:

(a1)(b1)0.

-theo nguyên lí dirichlet thì trong 3 số (a-1);(b-1);(c-1) có ít nhất 2 số cùng dấu

*Không mất tính tổng quát nếu gs a-1 và b-1 cùng dấu do đó (a-1)(b-1)$\geq 0$  suy ra ab-a-b+1>=0

*Vì c>0 $\Rightarrow abc+c\geq ac+bc\Rightarrow 2abc\geq 2ac+2bc-2c$..Do đó : $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2bc+2ac-2c+1$.Ta xét:

$a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1-2(ab+bc+ca)=(c-1)^2+(a-b)^2\geq 0$.Do đó $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1\geq 2(ab+bc+ca)$


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#12
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Bài này xin đóng góp cách Chứng minh bằng nguyên lý Dirichlet.

Luôn tồn tại 2 trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) cùng dấu , ko mất tổng quát, giả sử 

$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow 2c(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow 2abc\geq 2(ac+bc-c)$

Vậy ta chứng minh: $a^2+b^2+c^2+1+2(ac+bc-c)\geq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2\geq 0$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#13
Gokai Silver

Gokai Silver

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

các bạn làm hộ mình bài này vs

cmr: a2 + b2 c2  bé hơn bằng 5

với 0$<=$ a,b,c$$<=$ 2. và a+b+c=3

mình không biết viết mong mọi người thông cảm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gokai Silver: 04-08-2016 - 10:56


#14
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

các bạn làm hộ mình bài này vs

cmr: a2 + b2 c2  bé hơn bằng 5

với 0$<=$ a,b,c$$<=$ 2. và a+b+c=3

mình không biết viết mong mọi người thông cảm

Ta có: $a,b,c\in [0;2]\implies (2-a)(2-b)(2-c)\ge 0\iff 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\ge 0$

$\iff 2(ab+bc+ca)\ge 4(a+b+c)+abc-8$.

Mà $a+b+c=3,abc\ge 0\implies 2(ab+bc+ca)\ge 4$.

Khi đó: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca)\le 5(dpcm)$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị.



#15
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

$$F= a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ 2\,abc+ 1- 2(\,ab+ bc+ ca\,)= F_{\,i}$$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh