Chủ đề này có 3 trả lời

[fa4ever]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}$=3

CMR:  $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fa4ever: 25-03-2013 - 12:42

[Oral1020]

Quy đồng mẫu số rồi khi triển,ta cần chứng minh:

$49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc \le 64-16(ab+bc+ac)+4(a+b+c)abc-a^2b^2c^2$

$\Longleftrightarrow 16+3(a+b+c)abc \ge a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)$

Áp dụng bất đẳng thức Schur ($a^4+b^4+c^4=3$,ta có:

$(a^3+b^3+c^3+3abc)(a+b+c) \ge [ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)](a+b+c)$

$\Longleftrightarrow 3+3abc(a+b+c) \ge (ab+bc)^2+(bc+ca)^2+(ca+ab)^2$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$,ta có:
$(ab+bc)^2+(bc+ca)^2+(ca+ab)^2+12 \ge 8(ab+bc+ac)$

$\Longrightarrow 15+3abc(a+b+c) \ge 8(ab+bc+ac)$

Mặt khác ta lại có $1 \ge a^2b^2c^2$

$\Longrightarrow \text{đpcm}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 25-03-2013 - 12:51

[Mai Xuan Son]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}$=3

CMR:  $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1$

Đây là đề thi Moldova TST 2005

Giải thế này: UCT mở rộng

Nhận xét: Với mọi $x\leq \frac{3}{2}$ thì

$\frac{3}{4-x}\leq \frac{1}{15}.(2x^2+x+12)$

Dễ thấy $\max [ab,bc,ac]< \frac{3}{2}$ Vì vậy

$\sum _{cyc}\frac{3}{4-ab}\leq \frac{1}{15}.(2\sum _{cyc}a^2b^2+\sum _{cyc}ab+36)$

Lại có:

$\sum _{cyc}a^2b^2\leq \sum a^4=3$

$\sum _{cyc}ab\leq 3$

Vậy ta có đpcm $\blacksquare$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}$=3

CMR:  $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1$

 Ta có $a^2+b^2 \ge 2ab$ với $ \forall a,b$

Nên 

$\frac{1}{4-ab}\le \frac{2}{8-a^2-b^2}$

Theo Cauchy-Schwarz thì

 

$\frac{2}{8-a^2-b^2} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2})$

do đó

 

$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le \frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2}$

Ta có đánh giá sau

 

$\frac{1}{4-a^2}\le \frac{a^4+5}{18}$

 

$\Leftrightarrow (a^2-1)^2(a^2-2)\le 0$  ( đúng)

Do đó

 

$\frac{1}{4-a^2}+\frac{1}{4-b^2}+\frac{1}{4-c^2} \le \frac{a^4+5}{18}+\frac{b^4+5}{18}+\frac{c^4+5}{18}=1$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 25-03-2013 - 13:29