Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$ $x_{1}^{4}+x_{

* * * - - 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
fa4ever

fa4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$

Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$



#2
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$

Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$

Ta có:

$x_1^4+x_2^4+...+x_{2012}^4=x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3$

 

$\Leftrightarrow (x_1^4-x_1)+(x_2^4-x_2)+...+(x_{2012}^4-x_{2012})=(x_1^3-1)+(x_2^3-1)+...+(x_{2012}^3-1)$

 

$\Leftrightarrow (x_1-1)^2(x_1^2+x_1+1)+(x_2-1)^2(x_2^2+x_2+1)+...+(x_{2012}-1)^2(x_{2012}^2+x_{2012}+1)=0$

 

Mà $(x_i-1)^2\geq 0$ và $x_i^2+x_i+1>0$ $(i\in \mathbb{N};\ i=\overline{1;2012})$

 

Nên $x_1=x_2=...=x_{2012}=1$

 

Vậy $P=2012.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 25-03-2013 - 18:19


#3
mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$

Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$

Thực ra có thể áp dụng BĐT Chebyshev cho bộ 2012 số (đơn điệu) đó như sau

$2012(\sum x_1^4)\geq (\sum x_1^3)(\sum x_1 ) \iff \sum x_1^4 \geq \sum x_1^3$

Dấu "=" khi 2012 số đó cùng bằng 1. Do đó ta có $P=2012$


420 Blaze It Faggot





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh