Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 3 Bình chọn

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$ $x_{1}^{4}+x_{


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 fa4ever

fa4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 25-03-2013 - 13:00

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$

Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$



#2 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2013 - 18:05

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$

Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$

Ta có:

$x_1^4+x_2^4+...+x_{2012}^4=x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3$

 

$\Leftrightarrow (x_1^4-x_1)+(x_2^4-x_2)+...+(x_{2012}^4-x_{2012})=(x_1^3-1)+(x_2^3-1)+...+(x_{2012}^3-1)$

 

$\Leftrightarrow (x_1-1)^2(x_1^2+x_1+1)+(x_2-1)^2(x_2^2+x_2+1)+...+(x_{2012}-1)^2(x_{2012}^2+x_{2012}+1)=0$

 

Mà $(x_i-1)^2\geq 0$ và $x_i^2+x_i+1>0$ $(i\in \mathbb{N};\ i=\overline{1;2012})$

 

Nên $x_1=x_2=...=x_{2012}=1$

 

Vậy $P=2012.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 25-03-2013 - 18:19


#3 mrjackass

mrjackass

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 26-03-2013 - 00:02

Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$

Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$

Thực ra có thể áp dụng BĐT Chebyshev cho bộ 2012 số (đơn điệu) đó như sau

$2012(\sum x_1^4)\geq (\sum x_1^3)(\sum x_1 ) \iff \sum x_1^4 \geq \sum x_1^3$

Dấu "=" khi 2012 số đó cùng bằng 1. Do đó ta có $P=2012$


420 Blaze It Faggot





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh