Cho 2012 số thực $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{2012}$ thỏa mãn:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2012}=2012$
$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+...+x_{2012}^{4}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+...+x_{2012}^{3}$
Tính P=$x_{1}^{2013}+x_{2}^{2013}+x_{3}^{2013}+...+x_{2012}^{2013}$
Ta có:
$x_1^4+x_2^4+...+x_{2012}^4=x_1^3+x_2^3+...+x_{2012}^3$
$\Leftrightarrow (x_1^4-x_1)+(x_2^4-x_2)+...+(x_{2012}^4-x_{2012})=(x_1^3-1)+(x_2^3-1)+...+(x_{2012}^3-1)$
$\Leftrightarrow (x_1-1)^2(x_1^2+x_1+1)+(x_2-1)^2(x_2^2+x_2+1)+...+(x_{2012}-1)^2(x_{2012}^2+x_{2012}+1)=0$
Mà $(x_i-1)^2\geq 0$ và $x_i^2+x_i+1>0$ $(i\in \mathbb{N};\ i=\overline{1;2012})$
Nên $x_1=x_2=...=x_{2012}=1$
Vậy $P=2012.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 25-03-2013 - 18:19