Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

 Một bài khá ngộ,mong các bạn có ý kiến.Mình nghĩ bài này đơn giản ra $+\infty$ bởi $\lim x_{n}=+\infty$.

 

Bài toán : Cho dãy $x_{n}=2\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2n+2k-1}$.Tính $\lim n^2(\ln 2-x_{n})$.

[Noobmath]

Mình chỉ chứng minh được $ \lim x_n = \ln 2 $ ( mà cũng không chắc là có đúng không)

Ta có : $\frac{1}{n+k-1}=\frac{2}{2n+2k-2}>\frac{2}{2n+2k-1}>\frac{2}{2n+2k}=\frac{1}{n+k}$ 

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k-1}>\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2n+2k-1} > \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

Mà $ \lim \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k-1}=\lim \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k-1}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x+1}=\ln 2$ 

Tương tự $\lim \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x+1}=\ln 2$ 

Vậy $ \lim x_n = \lim \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2n+2k-1} = \ln 2$ (Theo nguyên lý kẹp) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Noobmath: 26-03-2013 - 19:51