Đến nội dung

Hình ảnh

$P(x)=1+\frac{x}{n+1}+\frac{x^2}{2n+1}+....+\frac{x^p}{pn+1}$ không có nghiệm nguyên.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài toán :

Ch0 số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p>n+1$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=1+\frac{x}{n+1}+\frac{x^2}{2n+1}+....+\frac{x^p}{pn+1}$ không có nghiệm nguyên.


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

ta biểu diễn

$P(x)=a_{p}x^p+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$

Phản chứng giả sử $P(X)$ có nghiệm nguyên $x=u$

Suy ra mâu thuẫn


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết

ta biểu diễn

$P(x)=a_{p}x^p+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$

Phản chứng giả sử $P(X)$ có nghiệm nguyên $x=u$

Suy ra mâu thuẫn

Bạn trình bày rõ hơn được không??



#4
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

Bài toán :

Ch0 số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p>n+1$. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=1+\frac{x}{n+1}+\frac{x^2}{2n+1}+....+\frac{x^p}{pn+1}$ không có nghiệm nguyên.

Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên $b$ .

$P(x)= 0\Leftrightarrow a_{p}x^p+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0$

trong đó ${a_i}= \frac{(n+1)(2n+1)...(pn+1)}{in+1}$

Do $p> n+1\rightarrow (p,n)=1\Rightarrow$ $A= {n+1,2n+1,...,pn+1}$ là hệ đầy đủ mod $p$.

$\Rightarrow$ có đúng một số $k$ sao cho $kn+1\vdots p;k\neq 1,0< kn+1< p^{2}\rightarrow kn+1\not\vdots p^{2}$

$\Rightarrow {a_k}\not\vdots p;{a_i}\vdots p ,{a_i}\not\vdots p^{2}$ với mọi $i\neq k$. (1)

Vì $b$ là nghiệm suy ra $a_{p}b^p+a_{p-1}b^{p-1}+...+a_{2}b^2+a_{1}b+a_{0}=0\vdots p\rightarrow {a_k}b^k\vdots p\rightarrow b^{k}\rightarrow b\vdots p$

$\Rightarrow {a_t}b^{t}\vdots p\forall t=1,2,...,p\Rightarrow {a_0}\vdots p^{2}$.Vô lí theo (1)

Vậy giả sử sai và ta có đpcm






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh