Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán:

Ch0 số nguyên tố lẻ $p=mk+2$ tr0ng đó $m.k\in \mathbb{N}^{*},m>2$. Tìm số dư của phép chia $S=\prod^{p}_{t=1}(t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1)$ ch0 $p$.

[nguyenthehoan]

Bài toán:

Ch0 số nguyên tố lẻ $p=mk+2$ tr0ng đó $m.k\in \mathbb{N}^{*},m>2$. Tìm số dư của phép chia $S=\prod^{p}_{t=1}(t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1)$ ch0 $p$.

Ta viết lại S thành

 

$S=m.\frac{(2^{m}-1)(3^{m}-1)...(p^{m}-1)}{(p-1)!}$.

 

Ta sẽ cm 

 

$A={2^{m}-1;3^{m}-1;...;p^{m}-1}$ là một hệ đầy đủ modun p.

 

Thật vậy giả sử có

 

$a^{m}\equiv b^{m}$   (mod p)

 

$\Rightarrow a^{mk}\equiv b^{mk}\equiv t$   (mod p)

 

Mặt khác p=mk+2 nên theo định lí Fecmar nhỏ suy ra

 

$a^{mk+1}\equiv b^{mk+1}\Rightarrow ta\equiv tb\equiv 1$   (mod p)

 

$\Rightarrow a=b$.

 

Vậy A là một hệ đầy đủ modun p.

 

do đó

 

$(2^{m}-1)(3^{m}-1)...(p^{m}-1)\equiv (p-1)!$  (mod p)

 

Từ đó suy ra $S\equiv m$  (mod p).

[Stranger411]

Bài toán:

Ch0 số nguyên tố lẻ $p=mk+2$ tr0ng đó $m.k\in \mathbb{N}^{*},m>2$. Tìm số dư của phép chia $S=\prod^{p}_{t=1}(t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1)$ ch0 $p$.

Một bài khó đánh giá hơn

Cho số nguyên tố $p \equiv 1( \bmod m)$, $m  >2$. Chứng minh:
\[\prod\limits_{t = 1}^p {\left( {{t^{m - 1}} + {t^{m - 2}} +  \ldots  + 1} \right)}  \equiv 0(\bmod p)\]

[nguyenta98]

Một bài khó đánh giá hơn

Cho số nguyên tố $p \equiv 1( \bmod m)$, $m  >2$. Chứng minh:
\[\prod\limits_{t = 1}^p {\left( {{t^{m - 1}} + {t^{m - 2}} +  \ldots  + 1} \right)}  \equiv 0(\bmod p)\]

Giải như sau:

Xét các số có dạng $i^m-1$ với $i \in (2,3,4,...,p-1)$ ta giả sử $g$ là căn nguyên thủy modulo $p$ với $g\neq 1$ (ta chọn được do có đúng $\varphi(p-1)$ căn nguyên thủy) khi ấy xét $g^k$ thì do $m>2$ nên rõ ràng $k<p-1$ nên $g^k \not \equiv 1 \pmod{p}$ vì ngược lại thì mâu thuẫn do $ord_p(g)=p-1$, khi ấy xét $g^k \equiv t \pmod{p}$ thì $2\le t\le p-1$ (do $g^k \not \equiv 1 \pmod{p}$)

Lúc ấy xét số $t^m-1 \equiv (g^k)^m-1 \equiv g^{mk}-1 \equiv g^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod{p}$ như vậy $t^m-1 \vdots p$ mà $t\neq 1$ nên $(t-1)(t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1) \vdots p$ mà $gcd(t-1,p)=1$ nên $t^{m-1}+t^{m-2}+...+t+1 \vdots p$ suy ra \[\prod\limits_{t = 1}^p {\left( {{t^{m - 1}} + {t^{m - 2}} +  \ldots  + 1} \right)}  \equiv 0(\bmod p)\]