Chủ đề này có 2 trả lời

[lovemoon]

Với A,B,C là 3 góc bất kỳ của một tam giác,tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=2\sqrt3sin\frac{A}{2}+\sqrt15sin\frac{B}{2}+2\sqrt5sin\frac{C}{2}$

[25 minutes]

Với A,B,C là 3 góc bất kỳ của một tam giác,tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=2\sqrt3sin\frac{A}{2}+\sqrt15sin\frac{B}{2}+2\sqrt5sin\frac{C}{2}$

Viết lại biểu thức P ta có 

    $P=\sqrt{12} \sin \frac{A}{2}+\sqrt{15} \sin \frac{B}{2}+ \sqrt{20} \sin \frac{C}{2}$

Bài toán trên tìm được Max khi ta tìm được Max của biểu thức sau 

    $Q=\sqrt{12}  \cos A'+\sqrt{15} \cos B'+ \sqrt{20} \cos C'$

Xét tam giác $A'B'C'$ với các vec-to đơn vị $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ song song và cùng chiều với $\vec{BC},\vec{CA},\vec{AB}$

Ta có $(\sqrt{5}\vec{a}+\sqrt{4}\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c})^2 \geq 0$

     $\Rightarrow 12+2(\sqrt{20}\vec{a}\vec{b}+\sqrt{12}\vec{b}\vec{c}+\sqrt{15}\vec{c}\vec{a})\geq 0$

     $\Rightarrow \sqrt{20} \cos C+\sqrt{15} \cos B +\sqrt{12} \cos C \leq \frac{12}{2}=6$

Do các vec-to $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ không xuất phát từ 1 điểm và $\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |.\cos C$

Do đó $Q \leq 6$

Dấu = xảy ra khi $AB:BC:AC=\sqrt{3}:\sqrt{5}:\sqrt{4}$

Trở lại bài toán chỉ cần đặt $(A',B',C')=(\frac{B+C}{2},\frac{A+C}{2},\frac{A+B}{2})$

[19kvh97]

Với A,B,C là 3 góc bất kỳ của một tam giác,tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=2\sqrt3sin\frac{A}{2}+\sqrt15sin\frac{B}{2}+2\sqrt5sin\frac{C}{2}$

cách khác nè 

 

 

xem lại giúp t nhé!

$P=2\sqrt{3}\sin \frac{A}{2}+2\sqrt{5}\sin \frac{C}{2}+\sqrt{15}\cos \frac{A+C}{2}=\sqrt{3}(\sin \frac{A}{2}(2-\sqrt{5}\sin \frac{C}{2})+\sqrt{5}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2})+2\sqrt{5}\sin \frac{C}{2}$

theo B.C.S ta có 

$\sin \frac{A}{2}(2-\sqrt{5}\sin \frac{C}{2})+\sqrt{5}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}\leq \sqrt{9-4\sqrt{5}\sin \frac{C}{2}}$

suy ra $P\leq \sqrt{3(9-4\sqrt{5}\sin \frac{C}{2})}+2\sqrt{5}\sin\frac{C}{2}$

theo AM-GM ta có 

$\sqrt{3(9-4\sqrt{5}\sin \frac{C}{2})}\leq 6-2\sqrt{5}\sin \frac{C}{2}$

suy ra $P\leq 6$

ĐTXR khi $\left\{\begin{matrix} \sin B=\frac{2}{\sqrt{5}}\cos \frac{A}{2} & & \\ \sin\frac{C}{2}=\frac{3}{2\sqrt{5}} & & \end{matrix}\right.$

P/s.giải cái hệ trên nản quá