Chủ đề này có 4 trả lời

[pinokio119]

Cho a,b,c dương thoả mãn a+b+c+d=4.Cmr

$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pinokio119: 26-03-2013 - 12:02

[25 minutes]

Cho a,b,c dương thoả mãn a+b+c+d=4.Cmr

$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

Ta có $\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

                 $\sum \frac{a}{1+b^2c}=\sum \frac{a^2}{a+ab^2c}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}=\frac{16}{4+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b\leq 4$ là suy ra $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq \frac{16}{4+4}=2$

Bất đẳng thức đã cho tương đương $ab.bc+bc.cd+cd.da+da.ab\leq 4$ với $a+b+c+d=4$

Chuyển $\left ( ab,bc,cd,da \right )\Rightarrow (x,y,z,t)$

Ta có $x+y+z+t=ab+bc+cd+ad \leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$

Lại có $ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=xy+yz+zt+tx \leq \frac{(x+y+z+t)^2}{4} \leq \frac{4^2}{4}=4$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d=1$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c dương thoả mãn a+b+c+d=4.Cmr

$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

Sử dụng pp AM-GM trái dấu:

 

$\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\ge a- \frac{ab\sqrt{c}}{2}$

 

$\Rightarrow \frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\ge (a+b+c+d)- \frac{ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}}{2}$

Do đó chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta cm được

 

$ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le 4$

Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có

 

$ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le \sqrt{(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)}$

Mặt khác ta có

 

• $ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)\le \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$

 

• $abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\le \frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\le\frac{(a+b+c+d)^3}{16}=4$

 

$\Rightarrow \sqrt{(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)}\le 4$

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c=d=1$

[viendanngoc]

Sử dụng pp AM-GM trái dấu:

 

$\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\ge a- \frac{ab\sqrt{c}}{2}$

 

$\Rightarrow \frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\ge (a+b+c+d)- \frac{ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}}{2}$

Do đó chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta cm được

 

$ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le 4$

Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có

 

$ab\sqrt{c}+bc\sqrt{d}+cd\sqrt{a}+da\sqrt{b}\le \sqrt{(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)}$

Mặt khác ta có

 

• $ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)\le \frac{(a+b+c+d)^2}{4}=4$

 

• $abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\le \frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\le\frac{(a+b+c+d)^3}{16}=4$

 

$\Rightarrow \sqrt{(ab+bc+cd+da)(abc+bcd+cda+dab)}\le 4$

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xẩy ra khi $a=b=c=d=1$

bạn có thể giải thích cho mình dòng này không mình không hiểu lắm

• $abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\le \frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\le\frac{(a+b+c+d)^3}{16}=4$

[Sagittarius912]

 

bạn có thể giải thích cho mình dòng này không mình không hiểu lắm

• $abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\le \frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\le\frac{(a+b+c+d)^3}{16}=4$

 

Chỗ đó mình sử dụng bđt $xy\le \frac{(x+y)^2}{4}$

Áp dụng :

$ab(c+d)+cd(a+b)\le \frac{(a+b)^2(c+d)}{4}+\frac{(c+d)^2(a+b)}{4}=\frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\le \frac{(a+b+c+d)^3}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 11-05-2013 - 20:13