Chủ đề này có 2 trả lời

[mango]

Cho a,b,c dương thỏa;  $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của P.

$P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ac+2c^2}}$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c dương thỏa;  $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của P.

$P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ac+2c^2}}$

Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz

 

$P\le \sqrt{(1+1+1)(\sum \frac{1}{5a^2+2ab+2b^2})}$

Lại tiếp tục sử dụng bđt Cauchy-Schwarz tiếp

 

$\frac{1}{5a^2+2ab+2b^2} \le \frac{1}{81}(\frac{5}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2})$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{5a^2+2ab+2b^2} \le \frac{1}{81}\sum (\frac{5}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2})=\frac{1}{81}[7(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}]$

 

Mà

 

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \le \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

 

$\Rightarrow \sum \frac{1}{5a^2+2ab+2b^2} \le \frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} )=\frac{1}{9}$

 

$\Rightarrow P\le \frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Vậy GTLN của P là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi $a=b=c=\sqrt{3}$

[hand of god]

Sử dụng đánh giá $\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}\geq 2a+b$ (CM bằng cách biến đổi tương đương)

ghép tương tự 2 cái còn lại.Rồi làm như trên