Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$.
Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$
#1
Đã gửi 27-03-2013 - 16:04
#2
Đã gửi 27-03-2013 - 16:16
Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$.
Cách 1: Theo định lí Wilson ta có:
$(p-1)! +1 \vdots p$
$\Leftrightarrow 1.2.....\frac{p-1}{2}.(p-\frac{p-1}{2})(p-\frac{p-2}{2})...(p-1)+1 \vdots p$
$\Leftrightarrow 1.2.....\frac{p-1}{2}.(-\frac{p-1}{2})(-\frac{p-2}{2})...(-1)+1 \vdots p$
$\Leftrightarrow \left [ (\frac{p-1}{2})! \right ]^2 +1 \vdots p$
Mà p nguyên tố dạng $4k+1$ nên $p-1 \vdots 2$
$\Rightarrow$ đpcm
Cách 2: Giả sử $\not { \exists }x: x^2+1 \vdots p$
thì các số $\in A= \left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ sẽ lâp thành $2k$ cặp có tích $\equiv -1 ( \mod p)$
$\Rightarrow (p-1)!\equiv 1 (\mod p)$
Trái với đlí Wilson
$\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 27-03-2013 - 16:25
- ntuan5 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh