Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ntuan5

ntuan5

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$.



#2
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$.

Cách 1: Theo định lí Wilson ta có:

$(p-1)! +1 \vdots p$

 

$\Leftrightarrow 1.2.....\frac{p-1}{2}.(p-\frac{p-1}{2})(p-\frac{p-2}{2})...(p-1)+1 \vdots p$

 

$\Leftrightarrow 1.2.....\frac{p-1}{2}.(-\frac{p-1}{2})(-\frac{p-2}{2})...(-1)+1 \vdots p$

 

$\Leftrightarrow \left [ (\frac{p-1}{2})! \right ]^2 +1 \vdots p$

 

Mà p nguyên tố  dạng $4k+1$ nên $p-1 \vdots 2$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

Cách 2: Giả sử $\not { \exists }x: x^2+1 \vdots p$

thì các số $\in A= \left \{ 1;2;...;p-1 \right \}$ sẽ lâp thành $2k$ cặp có tích $\equiv -1 ( \mod p)$

 

$\Rightarrow (p-1)!\equiv 1 (\mod p)$

 

Trái với đlí Wilson

 

$\Rightarrow$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 27-03-2013 - 16:25





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh