Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\Sigma \sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 duc321999real

duc321999real

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

Đã gửi 27-03-2013 - 19:10

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. 

CMR: $\Sigma \sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}\geq 3$



#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 27-03-2013 - 19:47

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. 

CMR: $\Sigma \sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{a+bc}} \geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+bc)(b+ac)(c+ab)}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+bc)(b+ac)(c+ab)} \geq 1$

                                     $\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+bc)(b+ac)(c+ab)$

Áp dụng AM-GM ta có $(a+bc)(b+ac) \leq \frac{(a+bc+b+ac)^2}{4}=\frac{\left [ (c+1)(a+b) \right ]^2}{4}$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi nhân lại, khai căn ta có

                    $(a+bc)(b+ac)(c+ab) \leq (a+b)(b+c)(c+a).\frac{\left [ (a+1)(b+1)(c+1) \right ]^2}{64}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{\left [ (a+1)(b+1)(c+1) \right ]^2}{64} \leq 1$

                                   $\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \leq 8$

Nhưng bất đẳng trên luôn đúng theo AM-GM :

                                  $\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \leq \left ( \frac{a+1+b+1+c+1}{3} \right )^3=8$

Vậy ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 27-03-2013 - 23:23

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 Peter97

Peter97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Mỹ Đức B
  • Sở thích:Xem Phim "Action"

Đã gửi 27-03-2013 - 19:55

Áp dụng AM-GM ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{a+bc}} \geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+bc)(b+ac)(c+ab)}}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+bc)(b+ac)(c+ab)} \geq 1$

                                     $\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+bc)(b+ac)(c+ab)$

Áp dụng AM-GM ta có $(a+bc)(b+ac) \geq \frac{(a+bc+b+ac)^2}{4}=\frac{\left [ (c+1)(a+b) \right ]^2}{4}$

Đoạn đó bạn có nhầm chiều ko vậy Phải $\leq$ chứ


EM YÊU BÁC HỒ..... :oto:


#4 duc12116

duc12116

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Đã gửi 28-03-2013 - 11:10

Đùa giải chuẩn rồi mà. Ở trên thấy là dấu nhỏ hơn hoặc bang ở dưới lại là dấu lớn hơn hoặc bang. Diễn đàn bị lỗi chắc!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh