SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
TỈNH ĐẮK LẮK LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 9 – THCS
(Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề)
Ngày thi: 21/03/2013
Câu 1. (4,0 điểm)
$a)$ Tìm tất cả số thực $x$ để hàm số $y=\sqrt{\frac{-2x^2+7x+15}{x^2-3x+3}}$ được xác định.
$b)$ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+9\\ x-x^2=2y^2+4y \end{matrix}\right.$
Câu 2. (4,0 điểm)
$a)$ Giả sử $x,\ y$ là hai số thực thỏa mãn hệ thức $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Chứng minh rằng $x^2+y^2=1\ \ \ \ \ \ \ (2)$
$b)$ Với điều kiện nào của $x,\ y$ thỏa mãn hệ thức $(2)$ thì cũng thỏa mãn hệ thức $(1)?$
Câu 3. (4,0 điểm)
$a)$ Cho hai điểm $M(m,0),$ $N(0,n)$ di động lần lượt trên hai tia $Ox,$ $Oy$ và thỏa mãn $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1.$
Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua một điểm cố định. Tìm giá tri nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN.$
$b)$ Tìm tất cả cặp số $(x,\ y)$ nguyên dương thỏa mãn $(10x+y)^2=(x+y)^3.$
Câu 4. (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2013|$
Câu 5. (4,0 điểm) Cho đường tròn $(O,\ R).$ Lấy điểm $A$ nằm trên đường tròn và điểm $H$ nằm trong đường tròn đó, sao cho $AH=R\sqrt{2}.$ Xác định hai điểm $B,$ $C$ nằm trên đường tròn sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$ Khi đó chứng minh rằng $AB^2+AC^2-AB.AC\sqrt{2}=2R^2.$
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ và có $sin\ B=\frac{1}{\sqrt{10}}.$ Trên cạnh $BC$ lấy hai điểm $D,\ E$ sao cho $BD=DE=EC.$
Chứng minh rằng $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=\widehat{AEC}.$
--------------------------- Hết ---------------------------
$\bullet$ Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
$\bullet$ Giám thị không giải thích gì thêm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 28-03-2013 - 18:34