Chủ đề này có 9 trả lời

[DarkBlood]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                                                   KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

           TỈNH ĐẮK LẮK                                                                                                                   LỚP 9 NĂM HỌC 2012 – 2013

 

         ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                                                       MÔN: TOÁN 9 – THCS 

     (Đề thi gồm 01 trang)                                                                                              (Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề)

                                                                                                                                                             Ngày thi: 21/03/2013

 

Câu 1. (4,0 điểm)

$a)$ Tìm tất cả số thực $x$ để hàm số $y=\sqrt{\frac{-2x^2+7x+15}{x^2-3x+3}}$ được xác định.

$b)$ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+9\\ x-x^2=2y^2+4y \end{matrix}\right.$

 

Câu 2. (4,0 điểm)

$a)$ Giả sử $x,\ y$ là hai số thực thỏa mãn hệ thức $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$  

Chứng minh rằng $x^2+y^2=1\ \ \ \ \ \ \ (2)$

$b)$ Với điều kiện nào của $x,\ y$ thỏa mãn hệ thức $(2)$ thì cũng thỏa mãn hệ thức $(1)?$

 

Câu 3. (4,0 điểm)

$a)$ Cho hai điểm $M(m,0),$ $N(0,n)$ di động lần lượt trên hai tia $Ox,$ $Oy$ và thỏa mãn $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1.$

Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua một điểm cố định. Tìm giá tri nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN.$

$b)$ Tìm tất cả cặp số $(x,\ y)$ nguyên dương thỏa mãn $(10x+y)^2=(x+y)^3.$

 

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2013|$

 

Câu 5. (4,0 điểm) Cho đường tròn $(O,\ R).$ Lấy điểm $A$ nằm trên đường tròn và điểm $H$ nằm trong đường tròn đó, sao cho $AH=R\sqrt{2}.$ Xác định hai điểm $B,$ $C$ nằm trên đường tròn sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC.$ Khi đó chứng minh rằng $AB^2+AC^2-AB.AC\sqrt{2}=2R^2.$

 

Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ và có $sin\ B=\frac{1}{\sqrt{10}}.$ Trên cạnh $BC$ lấy hai điểm $D,\ E$ sao cho $BD=DE=EC.$

Chứng minh rằng $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=\widehat{AEC}.$

 

--------------------------- Hết ---------------------------

 

$\bullet$ Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

$\bullet$ Giám thị không giải thích gì thêm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 28-03-2013 - 18:34

[vnmath98]

Câu2:a,$x\sqrt{1-y^2}\leq \frac{x^2+1-y^2}{2};y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{y^2+1-x^2}{2}$

$\Rightarrow 1\leq 1$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2=1-y^2 & & \\ y^2=1-x^2 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2=1$

[Lonely Silver Wolf]

Có kq chưa vậy bạn>? Lo quá

[Wild Grass]

Câu 1. (4,0 điểm)

$a)$ Tìm tất cả số thực $x$ để hàm số $y=\sqrt{\frac{-2x^2+7x+15}{x^2-3x+3}}$ được xác định.

Ta có: $x^2-3x+3= (x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4} \forall x \epsilon R$

Do đó: để hàm số $y=\sqrt{\frac{-2x^2+7x+15}{x^2-3x+3}}$ được xác định thì:

$-2x^2+7x+15\geq 0$ Giải ra được: 

$\frac{-3}{2}\leq x\leq 5$

Vậy...

P/s: Có kq rồi bạn. Cao nhất đc 10,75 điểm.  

[Wild Grass]

Câu 1. 

$b)$ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+9\\ x-x^2=2y^2+4y \end{matrix}\right.$

Nhân phương trình thứ 2 với 3 rồi đưa về hằng đẳng thức. $(x-1)^3=(y+2)^3$

$\Rightarrow x=y+3$

$.....$

[Lonely Silver Wolf]

Uhm, đề năm nay khó hơn mọi năm nhiều. Có ljnk hk cko mjk đi

[Lonely Silver Wolf]

link kq đó

[Wild Grass]

Câu 2. (4,0 điểm)

$a)$ Giả sử $x,\ y$ là hai số thực thỏa mãn hệ thức $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$  

Chứng minh rằng $x^2+y^2=1\ \ \ \ \ \ \ (2)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 số thực ta có:

VT $ \leq (x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)=1$

Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}\Leftrightarrow $.. Q.E.D

[chcd]

Câu 4

$\left | x-1 \right |+\left | x-2013 \right |\geqslant -1+2013$ (Dấu "=" xảy ra khi $1\leqslant x\leqslant 2013$)

$\left | x-2 \right |+\left | x-2012 \right |\geqslant -2+2012$ (Dấu "=" xảy ra khi $2\leqslant x\leqslant 2012$)

.....

$\left | x-1006 \right |+\left | x-1008 \right |\geqslant -1006+1008$ (Dấu "=" xảy ra khi $1006\leqslant x\leqslant 1008$)

$\left | x-1007 \right |\geq 0$ (Dấu "=" xảy ra khi x = 1007)

$\Rightarrow y\geqslant \left ( 1008+1009+...+2013 \right )-\left ( 1+2+...+1006 \right )=1013042$

Dấu "=" xảy ra khi x = 1007

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chcd: 30-03-2013 - 22:10

[chcd]

Câu 3b)

Từ giả thiết suy ra x + y là chính phương. Đăt x + y = k² (k là số nguyên)

Ta có (9x + k²)² = k⁶ suy ra 9x + k² = k³ (do 9x + k² > 0)

$\Rightarrow 9x=k^{2}\left ( k-1 \right )< 9k^{2}$ (Vì x + y = k² nên x < k² do y > 0)

$\Rightarrow 0< k-1< 9\Rightarrow 1< k< 10$ (*)

Mặt khác $9x=k^{2}\left ( k-1 \right )\Rightarrow x=\frac{k^{2}\left ( k-1 \right )}{9}$ (**)

Từ (*) và (**) tìm được k = 3; 6; 9

+) Với k = 3 $\Rightarrow x=2; y=7$

+) Với k = 6 $\Rightarrow x=20; y=16$

+) Với k = 9 $\Rightarrow x=72; y=9$