Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 và f(7) = 2008
Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 và f(7) = 2008
#1
Đã gửi 28-03-2013 - 19:19
#2
Đã gửi 28-03-2013 - 20:25
Ta có $7^{4}=2401> 2008$
$\Rightarrow$đa thức f(x) có bậc 3 nên f(x) có dạng
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d$\in \mathbb{Z^{+}}\leq 7)$. $\Rightarrow f(7)=343a+49b+7c+d=2008$(1)
Vì a,b,c,d là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 ta có 49b+7c+d$\leq 49.7+7.7+7=399\Rightarrow 343a\geq 1609\Rightarrow a\geq 4,69$
Lại có$49b+7c+d\geq 57\Rightarrow 343a\leq 1951\Rightarrow a\leq 5,68$$\Rightarrow a=5$
Thay vào (1) ta có 49b+7c+d=293
Tương tự ta có b=5,c=6,d=6
Vậy f(x)=$5x^{3}+5x^{2}+6x+6$
Người ta chỉ có 1 cái miệng nhưng lại có 2 cái tai. Tại sao?
Để người ta nghe nhiều hơn và nói ít thôi
#3
Đã gửi 29-03-2013 - 17:56
Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 và f(7) = 2008
Giả sử đa thức cần tìm có dạng $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$
Theo đề bài thì $$f(7)=a_n7^n+a_{n-1}7^{n-1}+...+a_1.7+a_0=2008$$
Vì $f(x)$ có tất cả hệ số nguyên không âm nhỏ hơn $7$ nên
$$f(7)=a_n7^n+a_{n-1}7^{n-1}+...+a_1.7+a_0=\overline{a_na_{n-1}...a_{0(7)}}=2008$$
Trong đó $\overline{a_na_{n-1}...a_{0(7)}}$ là biểu diễn của $2008$ trong hệ đếm cơ số $7$ và vì $2008=5566_{(7)}$
Nên $\overline{a_na_{n-1}...a_{0(7)}}=5566\Rightarrow n=3;a_1=5;a_2=5;a_3=6;a_4=6$
Vậy đa thức cần tìm là $f(x)=5x^3+5x^2+6x+6$
Thử lại thấy $f(x)$ duy nhất và thỏa mãn đề ra. $\blacksquare$
- cool hunter yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh