Chủ đề này có 2 trả lời

[bongtuyet]

Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 và f(7) = 2008

[mathworld1999]

Ta có $7^{4}=2401> 2008$

$\Rightarrow$đa thức f(x) có bậc 3 nên f(x) có dạng

f(x)=ax³+bx²+cx+d(a,b,c,d$\in \mathbb{Z^{+}}\leq 7)$. $\Rightarrow f(7)=343a+49b+7c+d=2008$(1)

Vì a,b,c,d là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 ta có 49b+7c+d$\leq 49.7+7.7+7=399\Rightarrow 343a\geq 1609\Rightarrow a\geq 4,69$

Lại có$49b+7c+d\geq 57\Rightarrow 343a\leq 1951\Rightarrow a\leq 5,68$$\Rightarrow a=5$

Thay vào (1) ta có 49b+7c+d=293

Tương tự ta có b=5,c=6,d=6

Vậy f(x)=$5x^{3}+5x^{2}+6x+6$

[Ispectorgadget]

Tìm đa thức f(x) có tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 7 và f(7) = 2008

Giả sử đa thức cần tìm có dạng $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$
Theo đề bài thì $$f(7)=a_n7^n+a_{n-1}7^{n-1}+...+a_1.7+a_0=2008$$
 

Vì $f(x)$ có tất cả hệ số nguyên không âm nhỏ hơn $7$ nên

 

$$f(7)=a_n7^n+a_{n-1}7^{n-1}+...+a_1.7+a_0=\overline{a_na_{n-1}...a_{0(7)}}=2008$$

 

Trong đó $\overline{a_na_{n-1}...a_{0(7)}}$ là biểu diễn của $2008$ trong hệ đếm cơ số $7$ và vì $2008=5566_{(7)}$

 

Nên $\overline{a_na_{n-1}...a_{0(7)}}=5566\Rightarrow n=3;a_1=5;a_2=5;a_3=6;a_4=6$

 

Vậy đa thức cần tìm là $f(x)=5x^3+5x^2+6x+6$

 

Thử lại thấy $f(x)$ duy nhất và thỏa mãn đề ra. $\blacksquare$