Chủ đề này có 2 trả lời

[wolfnight1997]

Tìm tất cả hàm số f : Q->Q thỏa $f(1)=2$ và $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$, $\forall x,y \in \mathbb{Q}$

 

Bài nầy mình làm thế này:

Cho $x=0$ có $f(0)=f(0).f(x)-f(x)+1$ 

 $\Rightarrow f(x)=1$???

Cho mình hỏi mình sai chỗ nào ?? Thank trước

cho mình hỏi cái này nữa . Có một số bài giải phương trình hàm có phần chứng minh bằng quy nạp một số cái như $f(x)=nx^2$ với $n=f(1)$. Tại sao lại biết mà chứng minh như vậy ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 28-03-2013 - 19:47

[Idie9xx]

Tìm tất cả hàm số f : Q->Q thỏa $f(1)=2$ và $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$, $\forall x,y \in \mathbb{Q}$

 

Bài nầy mình làm thế này:

cho mình hỏi cái này nữa . Có một số bài giải phương trình hàm có phần chứng minh bằng quy nạp một số cái như $f(x)=nx^2$ với $n=f(1)$. Tại sao lại biết mà chứng minh như vậy ?

Cho $x=y=0$ có $f(0)=(f(0))^2-f(0)+1 \Rightarrow f(0)=1$ ( sai là do $f(0)=1$ nên không thể kết luận $f(x)=1$ )

Cho $y=1$ có $f(x)=f(1)f(x)-f(x+1)+1 \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$  bằng qui nạp dễ dàng chứng minh $f(x+k)=f(x)+k$

Hay $f(x)=x+f(0)=x+1, x \in \mathbb{Z}$

Ta có $f(p)=f(q \cdot \frac{p}{q})=f(q)f(\frac{p}{q})-f(q+\frac{p}{q})+1 \Rightarrow p+1=(q+1)f(\frac{p}{q})-f(\frac{p}{q})-q+1 \Rightarrow f(\frac{p}{q})=\frac{p}{q}+1$

Với $p,q \in \mathbb{Z}$

Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=x+1$. Thử lại thấy thỏa

 

Mình nhớ là quy nạp chỉ dành cho số tự nhiên thôi mà bạn, còn phần hữu tỉ nữa 

Đúng là thiếu thật Mình đã thêm ở trên có thể sử dụng cho các số nguyên $\mathbb{Z}$

--------------

$f(x)=nx^2$ với $n=f(1)$ là ta đi cố định $f(1)$ là 1 hằng số có thể viết là $f(x)=f(1) \cdot x^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 28-03-2013 - 21:14

[wolfnight1997]

Cho $x=y=0$ có $f(0)=(f(0))^2-f(0)+1 \Rightarrow f(0)=1$ ( sai là do $f(0)=1$ nên không thể kết luận $f(x)=1$ )

Cho $y=1$ có $f(x)=f(1)f(x)-f(x+1)+1 \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$  bằng qui nạp dễ dàng chứng minh $f(x+k)=f(x)+k$

Hay $f(x)=x+f(0)=x+1$ Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=x+1$. Thử lại thấy thỏa

--------------

Mình nhớ là quy nạp chỉ dành cho số tự nhiên thôi mà bạn, còn phần hữu tỉ nữa