Chủ đề này có 2 trả lời

[tramanhnguyen794]

$I=\int_{1/3}^{1}\frac{xdx}{3x+\sqrt{9x^2-1}}$

[dark templar]

$I=\int_{1/3}^{1}\frac{xdx}{3x+\sqrt{9x^2-1}}$

Đặt $t=3x+\sqrt{9x^2-1} \iff t-3x=\sqrt{9x^2-1} $.

$\implies  t^2-6tx=-1 \iff x=\frac{t^2+1}{6t}$.

 

Suy ra $dx=\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6t^2} \right)dt$.

 

Đổi cận : $x=\frac{1}{3} \to t=1 \quad x=1 \to t=3+2\sqrt{2}$.

 

Từ đó :

\[I = \int\limits_1^{3 + 2\sqrt 2 } {\frac{{\frac{{{t^2} + 1}}{{6t}}.\frac{{{t^2} - 1}}{{6{t^2}}}dt}}{t}}  = \frac{1}{{36}}\int\limits_1^{3 + 2\sqrt 2 } {\frac{{{t^4} - 1}}{{{t^4}}}dt}  = \frac{1}{{36}}\left. {\left( {t - \frac{1}{{3{t^3}}}} \right)} \right|_1^{3 + 2\sqrt 2 }\]

[be_optimistic]

$I=\int_{1/3}^{1}\frac{xdx}{3x+\sqrt{9x^2-1}}$

 

Giải

 

$I=\int_{1/3}^{1}\frac{xdx}{3x+\sqrt{9x^2-1}}$

 

$=\int_{\frac{1}{3}}^{1}\frac{x(3x-\sqrt{9x^2-1})}{9x^2-9x^2+1}dx$

 

$= \int_{\frac{1}{3}}^{1}3x^2dx-\int_{\frac{1}{3}}^{1}x\sqrt{9x^2-1}dx$

 

$= x^3|_\frac{1}{3}^1-\frac{1}{18}\int_{\frac{1}{3}}^{1}\sqrt{9x^2-1}.d(9x^2-1)$

 

$= 1-\frac{1}{9}-\frac{(9x^2-1)^\frac{3}{2}}{27}|^1_\frac{1}{3}$

 

$= \frac{26-16\sqrt2}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi be_optimistic: 29-03-2013 - 17:57