Chủ đề này có 26 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h10, Thứ Sáu, ngày 29/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm
 

[E. Galois]

Giải phương trình nghiệm nguyên

$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

 

Đề của 0132345

[duaconcuachua98]

Ta có: $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(2y)^{2}=188$

Vì $x;y\in \mathbb{Z}\Rightarrow (x+1)^{2}+(2y)^{2}$ là tổng của hai số chính phương 

Mà $188$ không thể viết thành tổng của hai số chính phương ( Nêu rõ ra nhé)

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên

_________

@Joker: Lập luận không rõ ràng, quá vắn tắt

d=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:49

[Trang Luong]

Ta có : $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Rightarrow x^{2}+2x+1+4y^{2}=188\Leftrightarrow (x+1)^{2}+4y^{2}=188(*)$

Vì $188,4y^{2}\vdots 4$ và x,y nguyên $\Rightarrow \left ( x+1 \right )^{2}\vdots 4$ 

$\Rightarrow \left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2}+y^{2}=\frac{188}{4}=47$

Vì $\left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2},y^{2}$ là các số chính phương $\Rightarrow \left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2},y^{2}$ chia 4 dư 0 hoặc 1 $\Rightarrow \left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2}+y^{2}$ chia 4 dư 0; 1 hoặc 2 mà 47: 4 dư 3 (vô lý)

Vậy phương trình $\left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2}+y^{2}=47$ không có nghiệm nguyên hay $x^{2}+2x+4y^{2}=187$ không có nghiệm nguyên 

_____________

@Joker:Lời giải về cơ bản chính xác

d=10

S = 26+3*10 = 56

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:46
Chấm bài

[Tru09]

Giải phương trình nghiệm nguyên

$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

 

Đề của 0132345

Bài làm :

$x^2 +2x +4y^2 =187$

$\Leftrightarrow (x+1)^2 +4y^2 =188$

$\Rightarrow$ $4y^2 \leq 188 $

$\Rightarrow y^2 \leq 47$

$\Rightarrow  |y| \leq 6$

Ta thay các giá trị của y :

với $|y| =6 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -4.6^2 =44$ (loại )

 

với $|y| =5 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -4.5^2 =88$ (loại )

 

với $|y| =4 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -4.4^2 =124$ (loại )

 

với $ |y| =3 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -4.3^2 =152$ (loại )

 

với $|y| =2 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -4.2^2 =172$ (loại )

 

với $|y| =1 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -4.1^2 =184$ (loại )

với $|y| =0 \Rightarrow (x+1)^2 =188 -0 =188$ (loại )

Vậy Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên .

 

_______________

@Joker: Lời giải đúng

d=10

 

 

 

S = 26+3*10 = 56
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:47

[duaconcuachua98]

Cách khác:

 

Ta có: $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+4y^{2}=188\Leftrightarrow (x+1)^{2}=4(47-y^{2})$

Vì $(x+1)^{2}\geq 0\forall x\Rightarrow 4(47-y^{2})\geq 0\Leftrightarrow y^{2}\leq 47$

Mà $y^{2}$ là số chính phương nên $y^{2}\in \left \{ 0;1;4;9;16;25;36 \right \}$

Thử các trường hợp trên ta thấy không có giá trị nào của $y$ thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên 

 

S = 26+3*10 = 56

[daovuquang]

Bài làm của daovuquang:

Theo giả thiết, ta có phương trình: $x^2+2x+4y^2=187$

$\Leftrightarrow (x+1)^2+(2y)^2=188$.

Vì $(x+1)^2 \geq 0 \Rightarrow (2y)^2 \leq 188$

$\Rightarrow |2y| \leq 13$

$\Rightarrow |y| \leq 6$.

TH1: $|y|=6 \Rightarrow (2y)^2=144 \Rightarrow (x+1)^2=44 \Rightarrow$ vô lí (do $44$ không là bình phương của một số nguyên)

TH2: $|y|=5 \Rightarrow (2y)^2=100 \Rightarrow (x+1)^2=88 \Rightarrow$ vô lí (do $88$ không là bình phương của một số nguyên)

TH3: $|y|=4 \Rightarrow (2y)^2=64 \Rightarrow (x+1)^2=124 \Rightarrow$ vô lí (do $124$ không là bình phương của một số nguyên)

TH4: $|y|=3 \Rightarrow (2y)^2=36 \Rightarrow (x+1)^2=152 \Rightarrow$ vô lí (do $152$ không là bình phương của một số nguyên)

TH5: $|y|=2 \Rightarrow (2y)^2=16 \Rightarrow (x+1)^2=172 \Rightarrow$ vô lí (do $172$ không là bình phương của một số nguyên)

TH6: $|y|=1 \Rightarrow (2y)^2=4 \Rightarrow (x+1)^2=184 \Rightarrow$ vô lí (do $184$ không là bình phương của một số nguyên)

TH7: $|y|=0 \Rightarrow (2y)^2=0 \Rightarrow (x+1)^2=188 \Rightarrow$ vô lí (do $188$ không là bình phương của một số nguyên)

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Vậy phương trình vô nghiệm.

___________

@Joker: d=10

 

S = 26+3*10 = 56

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:49

[LNH]

Bài làm của MSS50-lenhathoang1998

${{x}^{2}}+2x+4{{y}^{2}}=187$

$187\equiv 3(\bmod 4)$

$4{{y}^{2}}\equiv 0(\!\bmod \!4)$

$\Rightarrow {{x}^{2}}+2x\equiv 3(\!\bmod \!4)$

Dễ thấy $x$ là số lẻ.

Với $x\equiv -1(\bmod 4)$ thì $VT\equiv -1(\bmod 4)$, vô lí.

$\Rightarrow x\equiv 1(\!\bmod \!4)$

Đặt $x=4k+1$, ta có:

${{(4k+1)}^{2}}+2(4k+1)+4{{y}^{2}}=187$

$\Leftrightarrow 16{{k}^{2}}+16k+4{{y}^{2}}=184$

$\Leftrightarrow 4{{k}^{2}}+4k+{{y}^{2}}=46$

$\Leftrightarrow 4k(k+1)+{{y}^{2}}=46$

Lại có $46\equiv 6(\bmod 8)$, $4k(k+1)\equiv 0(\bmod 8)$

$\Rightarrow {{y}^{2}}\equiv 6(\bmod 8)$

Mà $\Rightarrow {{y}^{2}}\equiv a\in \{0;1;4\}(\!\bmod \!8)$, không thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

_________________

@Joker: d=10

 

S = 26+3*10 = 56

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:50

[nhatquangsin]

x²+2x+4y²-187=0

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn x.

$\Delta '=1-(4y^{2}-187)=188-4y^{2}$

Để phương trình có nghiệm thì

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow 188-4y^{2}\geq 0\Leftrightarrow -6\leq y\leq 6$

để phương trình có nghiệm nguyên thì $\Delta$ phải là số chính phương.

-với y=6 và y=-6 thì $\Delta$=44(loại)

-với y=5 và y=-5 thì $\Delta$=88(loại)

-với y=4 và y=-4 thì $\Delta$=124(loại)

-với y=3 và y=-3 thì $\Delta$=152(loại)

-với y=2 và y=-2 thì $\Delta$=172(loại)

-với y=1 và y=-1 thì $\Delta$=184(loại)

-với y=0 thì $\Delta$=188(loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

____________________

@Joker: d=10

 

S = 25+3*10 = 55

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:50

[Nguyen Duc Thuan]

Giải phương trình nghiệm nguyên

$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

 

Đề của 0132345

Ta có:

$PT\Leftrightarrow x^2+2x+(4y^2-187)=0$

Coi đây là PT ẩn x với tham số y thì để PT có nghiệm nguyên, $\Delta'$ phải chính phương:

$\Delta '=1-(4y^2-187)=4.(47-y^2)$

$\Rightarrow 47-y^2$ là số chính phương nhỏ hơn 47.

$\Rightarrow (47-y^2)\in \left \{ 0;1;4;9;16;25;36\right \}$

Thử các trường hợp để tìm ra y nguyên thì ko đc.( Nêu TH cụ thể ra nhé không ghi như vậy)

Vậy PT vô nghiệm.

_________________

@Joker:Lời  giải còn tắt

d=8

 

S = 25+3*8 = 49

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:50

[Nguyen Duc Thuan]

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

Đề của 0132345

Cách 2: (Hơi tắt)
$PT\Leftrightarrow (x+1)^2+4y^2=188$
Nhưng 188 ko thể phân tích được thành tổng 2 bình phương (Dùng MTCT)
Nên PT vô nghiệm.

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

Đề của 0132345

Cách 2: (Hơi tắt)
$PT\Leftrightarrow (x+1)^2+4y^2=188$
Nhưng 188 ko thể phân tích được thành tổng 2 bình phương (Dùng MTCT)
Nên PT vô nghiệm.

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

Đề của 0132345

Cách 2: (Hơi tắt)
$PT\Leftrightarrow (x+1)^2+4y^2=188$
Nhưng 188 ko thể phân tích được thành tổng 2 bình phương (Dùng MTCT)
Nên PT vô nghiệm.

Giải phương trình nghiệm nguyên
$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

Đề của 0132345

Cách 2: (Hơi tắt)
$PT\Leftrightarrow (x+1)^2+4y^2=188$
Nhưng 188 ko thể phân tích được thành tổng 2 bình phương (Dùng MTCT)
Nên PT vô nghiệm.

\sum \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}

[BlackSelena]

Giải phương trình nghiệm nguyên

$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

 

Đề của 0132345

Bài làm của MSS01-BlackSelena:

$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$

$\Leftrightarrow (x+1)^2 + 4y^2 = 188$
Từ phương trình suy ra $x+1$ chẵn, đặt $x+1 = 2a$
Phương trình tương đương: $4a^2 + 4y^2 = 188$

$\Leftrightarrow a^2 + y^2 = 47$
Do $47 \equiv 3 \pmod{4}$.  $a^2 + y^2 \equiv 0,1,2 \pmod{4}$ nên phương trình vô nghiệm nguyên.

Kết luận: Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.

__________

@Joker: d=10

 

S = 25+3*10 = 55

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:52

[Dung Dang Do]

Từ $x^2+2x+4y^2=187$
suy ra $x^2+2x+1+4y^2=188$
$\iff (x+1)^2+4y^2=188$
Nhận thấy 188 chia hết cho 2 nên đặt $x+1=2k$,k là số nguyên
Suy ra $4k^2+4y^2=188$
$k^2+y^2=47$
Lại có $k^2+y^2 \equiv 0;1 (mod 4)$ ( Thiếu TH=2)
47 chia 4 dư 3
suy ra ko tồn tại k,y thoã mãn $k^2+y^2=47$
Kết luận: Phương trình đạ cho vô nghiệm

__________

@Joker: Còn nhầm lẫn

d=7

S = 22+3*7 = 43

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:53

[anhtukhon1]

Ta có:

$x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+4y^{2}=188 $$\Leftrightarrow$ x+1 chẵn $\Leftrightarrow$ x=2k-1. Thay x=2k-1 vào phương trình$\Leftrightarrow (2k-1+1)^{2}+4y^{2}=188\Leftrightarrow 4y^{2}+4k^{2}=188\Leftrightarrow y^{2}+k^{2}=47$

vậy k và y có tính chẵn lẻ khác nhau

Vì một số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0.

 Vậy k và y đều phải chia 3 dư 1

k,y$\leq$$\sqrt{47}<7$

Vậy k,y=1,4

Xét k=1$\Leftrightarrow$$y^{2}=46$(loại)

Xét k=4$\Leftrightarrow y^{2}=31$(loại)

Vậy phương trình vô nghiệm nguyên

_________

@Joker:  Lời giải còn tắt.

d=9

 

S = 14+3*9 = 41

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 22:55

[anhtukhon1]

Mở rộng:Một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

Xét x=3k$\Rightarrow x^{2}=9k^{2}$ chia hết cho 3

Xét x=3k+1$\Leftrightarrow x^{2}=(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1$ chia 3 dư 1

Xét x=3k+2$\Leftrightarrow x^{2}=(3k+2)^{2}=9k^{2}+12k+4$ chia 3 dư 1

Vậy 1 số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

[vnmath98]

Ta có:

$x^2+2x+4y^2=187$

$\Leftrightarrow (x+1)^2+(2y)^2=188$

$(2y)^2\leq 188\Rightarrow 2y\leq 3$  ( Sai)

Thử các trường hợp y từ 1 đến 7 vào thấy không có giá trị nào thỏa mãn x nguyên.

Vậy phương trình vô nghiệm.

___________

@Joker: Lời giải sai

d=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 04-04-2013 - 21:47

[4869msnssk]

Giải phương trình nghiệm nguyên

$$x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$$

 

Đề của 0132345

Vì 2x và $4y^{2}$ là số chẵn với mọi x,y mà 187 là số lẻ suy ra x là một số lẻ.

Lại có: $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+4y^{2}=188\Leftrightarrow (\frac{x+1}{2})^{2}+y^{2}=47$

Vì x là một số lẻ nên $\frac{x+1}{2}$ là một số chẵn suy ra $(\frac{x+1}{2})^{2}$ là số chính phương 

mà số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoắc nên VT chia 4 dư 0 hoặc 1. ( Thiếu TH dư 2)

Lại thấy 47 chia 4 dư 3 suy ra $VT\neq VP$  suy ra phương trình vô nghiệm

_______________

@Joker: Còn nhầm lẫn

d=6

S = 3+3*6 +10+5= 36

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-04-2013 - 23:07

[4869msnssk]

C2: Vì 2x và $4y^{2}$ là số chẵn với mọi x,y mà 187 là số lẻ suy ra x là một số lẻ.
Lại có: $x^{2}+2x+4y^{2}=187\Leftrightarrow (x+1)^{2}+4y^{2}=188\Leftrightarrow (\frac{x+1}{2})^{2}+y^{2}=47$
Vì x là một số lẻ nên $\frac{x+1}{2}$ là một số chẵn suy ra $(\frac{x+1}{2})^{2}$ là số chính phương.

đặt $\frac{x+1}{2}=A$. Ta có A,y<7.

Lần lượt thay $y^{2}$ bằng các giá trị 1,$2^{2}$, $3^{2}$,...,$6^{2}$ và tính giá trị của A, ta đều thấy không có giá trị nguyên nào thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm

 

điểm thưởng: 10

[4869msnssk]

Mở rộng :

Gpt nghiệm nguyên :

$15x^{4}+64y^{4}=10a+6$ (với a là số tự nhiên).

Trước hết ta thấy : một số lẻ mũ 4 tận cùng là 1 nếu không chia hết cho 5, tận cùng là 5 nếu chia hết cho 5. Một số mũ 4 chẵn tận cùng là 6 nếu không chia hết cho 5, tận cùng là 0 nếu chia hết cho 5.

Áp dụng vào, ta có:

$15x^{4}$ tận cùng là 5 với mọi x lẻ, tận cùng là 0 với mọi x chẵn 

Nếu x lẻ, y chẵn thì VT tận cùng là 9 hoặc 5 mà VP tận cùng là 6 suy ra phương trình vô nghiệm

tương tự với các trường hợp còn lại ta đều có PT vô nghiệm

 

Lời giải còn lủng củng, quá tắt

 

Điểm mở rộng: 5

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau