Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] Trận 25 - Đạo hàm và ứng dụng đạo hàm


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:

1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h10, Thứ Sáu, ngày 29/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cho hàm số $y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số. Tìm $m$ để $r$ trị nhỏ nhất? lớn nhất?

 

Đề của BTC


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết

Cho hàm số $y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số. Tìm $m$ để $r$ trị nhỏ nhất? lớn nhất?

 

Đề của BTC

$y'=4x^3-8mx=0$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & & \\ x=\sqrt{2m} & & \\ x=-\sqrt{2m} & & \end{bmatrix}$(đk $m\geq0$)

gs tam giác đó là $A(0;3m-1)$ $B(\sqrt{2m};-4m^2+3m-1)$ và $C(-\sqrt{2m};-4m^2+3m-1)$

suy ra tam giác $ABC$ cân tại $A$

gọi $T;I$ là trung điểm của $BC$ và tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

suy ra $T(0;-4m^2+3m-1)$

ta có $\sin \frac{A}{2}=\frac{CT}{AC}=\frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{2m+16m^4}}=\frac{1}{\sqrt{1+8m^3}}$

mà $r=AI\sin \frac{A}{2}=(AT-r)\sin \frac{A}{2}$(do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow r=\frac{AT\sin \frac{A}{2}}{1+\sin \frac{A}{2}}=\frac{4m^2\frac{1}{\sqrt{1+8m^3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{1+8m^3}}}=\frac{4m^2}{1+\sqrt{1+8m^3}}$

$minr=0$ khi $m=0$ m=0 thì làm gì có 3 cực trị mà tạo thành tam giác được

mặt khác $r=\frac{4m^2}{1+\sqrt{1+8m^3}}=\frac{\sqrt{1+8m^3}-1}{2m}$

$\sqrt{1+8m^3}\leq \frac{4m^2-2m+1+2m+1}{2}=2m^2+1$

nên $r\leq m$(ĐTXR khi $m=1$)

$maxr=1$ SAI

P/s:phần $max$ làm bừa 

 

Điểm bài: 5

S = 25 + 5*3 = 40


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 20:52
Chấm bài


#4
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Cho hàm số $y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số. Tìm $m$ để $r$ trị nhỏ nhất? lớn nhất?

 

Đề của BTC

 

Truớc hết ta tìm điều kiện đề $y$ có ba điểm cực trị. Đặt $y=f(x)$. Ta có : $f'(x)=4x(x^2-2m)$. Đồ thị của hàm số $y$ có $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f'(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^2-2m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$, tương đương với $m>0$.

Gọi $A$, $B$, $C$ tương ứng là ba điểm cực trị của hàm số biểu diễn trên trục toạ độ.

Dễ thấy $A=(0;3m-1)$, $B\left ( -\sqrt{2m};-4m^2+3m-1 \right )$, $C\left ( \sqrt{2m};-4m^2+3m-1 \right )$

$AB=AC=\sqrt{\left ( x_A-x_B \right )^2+\left ( y_A-y_B \right )^2}=\sqrt{16^4+2m}$ Nhầm lẫn đáng tiếc

$BC=2\sqrt{2m}$

Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (tính chất của hàm trùng phương) nên :

$AH=\sqrt{AB^2-\frac{BC^2}{4}}=4m^2$

Diện tích tam giác $ABC$ được tính bởi :

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{AB+BC+CA}{2}.r=4\sqrt{2m^5}$$

Suy ra :$r=\frac{4m^2}{\sqrt{8m^3+1}+1}=g(m)$

Nhận thấy rằng $\lim_{m \to \infty}g(m)=+\infty$ nên không tồn tại giá trị $m$ để $g$ đạt $\max$.

$\lim_{m \to 0}g(m)=0$ và $g$ là hàm đồng biến (xét đạo hàm $g'(m)$ suy ra điều này) nên cũng không tồn tai $g_{\min}$

 

Kết luận : Không tồn tại gía trị $m$ để có $r_{\max}$, $r_{\min}$.

 

Điểm bài: 8

S = 25+8*3 = 49


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 20:50
Chấm bài

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#5
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Bài trên em làm sai, em xin làm lại

 

Cho hàm số $y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số. Tìm $m$ để $r$ trị nhỏ nhất? lớn nhất?

 

Đề của BTC

 

$y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$

 

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

 

$y'=4x^{3}-8mx$

 

$y'=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^{2}=2m \end{bmatrix}$

 

Để hàm có $3$ cực trị thì phương trình $y'=0$ có $3$ nghiệm phân biệt, khi đó thì $m>0$

 

Ta có hoành độ ba điểm cực trị là $\begin{bmatrix} x=0\\ x=\sqrt{2m}\\ x=-\sqrt{2m} \end{bmatrix}$

 

Giả sử $A;B;C$ là toạ độ $3$ điểm cực trị, khi đó:

 

$\left\{\begin{matrix} A(0;3m-1)\\ B(\sqrt{2m};-4m^{2}+3m-1)\\ C(-\sqrt{2m};-4m^{2}+3m-1) \end{matrix}\right.$

 

Nhận thấy rằng $\Delta ABC$ cân tại $A$

 

Ta có $I(0;-4m^{2}+3m-1)$ là trung điểm $BC$

 

$\Rightarrow AI=4m^{2}$

 

Tính độ dài $3$ cạnh của $\Delta ABC$, ta được:

 

$\left\{\begin{matrix} AB=AC=\sqrt{16m^{4}+2m}\\ BC=2\sqrt{2m} \end{matrix}\right.$

 

Gọi $p$ là nửa chu vi $\Delta ABC$ thì $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\sqrt{16m^{4}+2m}+\sqrt{2m}$

 

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AI.BC=4m^{2}\sqrt{2m}$

 

Vậy độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là $r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{4m^{2}\sqrt{2m}}{\sqrt{16m^{4}+2m}+\sqrt{2m}}$


Đặt $t=2m;t>0$, ta có hàm $f(t)=\frac{t^{2}\sqrt{t}}{\sqrt{t^{4}+t}+\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{t^{3}+1}-1}{t},$ xét hàm $f(t)$ trên $(0;+\infty )$

 

$\Rightarrow f'(t)=\frac{\frac{3t^{3}}{2\sqrt{t^{3}+1}}-\sqrt{t^{3}+1}+1}{t^{2}}$

 

$f'(t)=\frac{t^{3}-2+2\sqrt{t^{3}+1}}{2t^{2}\sqrt{t^{3}+1}}$

 

$f'(t)=0\Rightarrow t^{3}-2+2\sqrt{t^{3}+1}=0$

 

$\Leftrightarrow t=0$ (loại)

 

Vậy $f'(t)>0;\forall t \in (0;+\infty)$

 

Vậy $f(t)$ là hàm đồng biến trên $(0;+\infty)$ nên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ xảy ra ở biên, điều này không xảy ra

 

KẾT LUẬN: Không tồn tại điểm $m$ thoả đề

 

Điểm bài: 10

S = 23 + 10*3 = 53


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 20:54
Chấm bài

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#6
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

$D=R$

Ta có:

$y'= 4x^3-8mx$

$y'=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^=2m \end{bmatrix}$

Do đó để hàm số có 3 điểm cữ trị thì $x^2=2m$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Tức là  $m>0$

Khi đó ta có 3 điểm cực trị là: 

$A(0; 3m-1)$

$B(-\sqrt{2m}; -4m^2+3m-1)$

$C(\sqrt{2m}; -4m^2+3m-1)$

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Gọi H là trung điểm BC suy ra:

$H(0; -4m^2+3m-1)$

Ta có:

$r=\frac{S}{p}=\frac{AH.BC}{AB+BC+CA}=\frac{4m^2}{\sqrt{8m^3+1}+1}$

Xét:

$f(m)=\frac{4m^2}{\sqrt{8m^3+1}+1}$

Liên tục và xác định trên $[0; +\infty]$ mà

$f(m)\geq 0$ với mọi $m\geq 0$

và $\lim_{m\rightarrow +\infty}f(m)=+\infty$

Suy ra tập giá trị hàm số $f(m)$ với $m\geq 0$

$G=[0; +\infty )$ 

Khi đó xét đk m>0 thì f(m) không có cực đại và cực tiểu

Vậy r không có giá trị nhỏ nhất lớn nhất

KL: Không có m để r đạt cực đại hay cực tiểu

 

 

Điểm bài: 10

S = 17 + 10*3 = 47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 20:55
Chấm bài

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#7
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Em làm cho khỏi bị trừ điềm. :wacko:

Lời giải:

Giả sử rằng tìm được $r$ lón nhất, nhỏ nhất (*)

$y'=4x^3-8mx=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\pm \sqrt{2m}$ với $m>0$ (vì hàm số có 3 cực trị)

Vì $$y(-x)=x^4-4mx^2+3m-1=y(x)$$

Suy ra y làm hàm số chẵn nên đồ thị hàm y nhận Oy làm trục đối xứng

Gọi $A(0;3m-1);B(\sqrt{2m};-4m^2+3m-1);C(-\sqrt{2m};-4m^2+3m-1)$ là 3 điểm cực trị và AH là đường cao kẻ từ A

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.4m^2.2\sqrt{2m}=4m^2\sqrt{2m}$

$$\Rightarrow r=\frac{2S}{2AB+BC}=\frac{8m^2}{1+\sqrt{8m^3+1}}\Leftrightarrow r=\frac{8}{\frac{1}{m^2}+\sqrt{\frac{8}{m}+\frac{1}{m^4}}}$$

SAI trên tử là 4 mới đúng. 

Lại gọi $k$ là số nhỏ nhất trên $(0;+\infty )$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lim_{m\rightarrow k }r=k=0^+ & & & \\ \lim_{m\rightarrow +\infty }r=+\infty & & & \end{matrix}\right.$

Điều này trái với (*)

Vậy không thể tìm được m

 

Điểm bài: 5

S = 9+5*3 = 24


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 21:09
Chấm bài


#8
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Cho hàm số $y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số. Tìm $m$ để $r$ trị nhỏ nhất? lớn nhất?

 

Đề của BTC

Giải:

Ta có: $y'=4x(x^2-2m)$,$y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\x^2=2m\end{matrix}\right.$

Để hàm số có 3 điểm cự trị khi và chỉ khi $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt hay $m>0$

Gọi 3 điểm cự trị là: $A(\sqrt{2m};-4m^2+3m-1),B(0;3m-1),C(-\sqrt{2m};-4m^2+3m-1)$

$\to AB=CB=\sqrt{16m^4+2m},AC=2\sqrt{2m},d(B,AC)=4m^2,p=\frac{AB+BC+CA}{2} $

Ta có: $r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\frac{1}{2}.d(B,AC).AC}{\frac{AB+BC+CA}{2}}=\frac{4m^2.2\sqrt{2m}}{2\sqrt{16m^4+2m}+2\sqrt{2m}}=\frac{4m^2}{\sqrt{8m^3+1}+1}$

Xét hàm: $f(m)=\frac{4m^2}{\sqrt{8m^3+1}+1}$, với $m>0$

$\to f'(m)=\frac{8m(2m^3+\sqrt{8m^3+1}+1)}{\sqrt{8m^3+1}(\sqrt{8m^3+1}+1)^2}>0,\vee m>0$

Vậy $f(m)$ không có cực trị hay không tồn tại  $m$ để $r$ đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất

P/s: Làm bừa+bậy..!!

 

Điểm bài: 10

S = 7 + 10*3 =37


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 21:15
Chấm bài


#9
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

MỞ RỘNG 1

 

 

Cho hàm số $y=Ax^{4}+Bx^{2}+C;A \neq 0$, tìm độ dài bán kính $r$ đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số.

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

$y=Ax^{4}+Bx^{2}+C=0$

 

$\Rightarrow y'=4Ax^{3}+2Bx$

 

$y'=0\Leftrightarrow 2x(2Ax^{2}+B)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^{2}=-\frac{B}{2A} \end{bmatrix}$

 

Để hàm có $3$ cực trị thì phương trình $y'=0$ phải có ba nghiệm phân biệt, khi đó ta có điều kiện: $\left\{\begin{matrix} B \neq 0\\ A.B<0 \end{matrix}\right.$

 

Vậy phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt là $\begin{bmatrix} x=0\\ x=\sqrt{-\frac{B}{2A}}\\ x=-\sqrt{-\frac{B}{2A}} \end{bmatrix}$

 

Giả sử $A,B,C$ là toạ độ $3$ điểm cực trị, khi đó:

 

$\left\{\begin{matrix} A(0;C)\\ B(\sqrt{-\frac{B}{2A}};-\frac{B^{2}}{4A}+C)\\ C(-\sqrt{-\frac{B}{2A}};-\frac{B^{2}}{4A}+C) \end{matrix}\right.$

 

Đặt $t=\sqrt{-\frac{B}{2A}};t>0$ khi đó ta có độ dài các cạnh:

 

$\left\{\begin{matrix} AB=t\sqrt{t^{6}+1}\\ AC=t\sqrt{t^{6}+1}\\ BC=2t \end{matrix}\right.$

 

Nửa chu vi $\Delta ABC$ là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=t\sqrt{t^{6}+1}+t$

 

Nhận thấy $\Delta ABC$ cân tại $A$, gọi $I$ trung điểm $BC$ thì $I(0;-t^{4}+C)$

 

$\Rightarrow AI=t^{4}$

 

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AI.BC=t^{5}$

 

Vậy $r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{t^{5}}{t\sqrt{t^{6}+1}+t}=\frac{\sqrt{t^{6}+1}-1}{t^{2}}$; với $t=\sqrt{-\frac{B}{2A}};t>0$

 

 

 

Cái này gọi là mở "hẹp" mới đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 21:18
Chấm bài

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#10
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#11
Mori Ran

Mori Ran

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

ko thể tin nôi các anh chị lại nhanh như thế



#12
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Đã chấm xong trận 25. Các toán thủ có 1 ngày để phúc khảo


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#13
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

quái, điểm tính từ người làm đúng mà!! sao làm sai cũng được 25;23 nhỉ??






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh