Bài trên em làm sai, em xin làm lại
Cho hàm số $y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của hàm số. Tìm $m$ để $r$ trị nhỏ nhất? lớn nhất?
Đề của BTC
$y=x^{4}-4mx^{2}+3m-1$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$
$y'=4x^{3}-8mx$
$y'=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^{2}=2m \end{bmatrix}$
Để hàm có $3$ cực trị thì phương trình $y'=0$ có $3$ nghiệm phân biệt, khi đó thì $m>0$
Ta có hoành độ ba điểm cực trị là $\begin{bmatrix} x=0\\ x=\sqrt{2m}\\ x=-\sqrt{2m} \end{bmatrix}$
Giả sử $A;B;C$ là toạ độ $3$ điểm cực trị, khi đó:
$\left\{\begin{matrix} A(0;3m-1)\\ B(\sqrt{2m};-4m^{2}+3m-1)\\ C(-\sqrt{2m};-4m^{2}+3m-1) \end{matrix}\right.$
Nhận thấy rằng $\Delta ABC$ cân tại $A$
Ta có $I(0;-4m^{2}+3m-1)$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AI=4m^{2}$
Tính độ dài $3$ cạnh của $\Delta ABC$, ta được:
$\left\{\begin{matrix} AB=AC=\sqrt{16m^{4}+2m}\\ BC=2\sqrt{2m} \end{matrix}\right.$
Gọi $p$ là nửa chu vi $\Delta ABC$ thì $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\sqrt{16m^{4}+2m}+\sqrt{2m}$
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AI.BC=4m^{2}\sqrt{2m}$
Vậy độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là $r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{4m^{2}\sqrt{2m}}{\sqrt{16m^{4}+2m}+\sqrt{2m}}$
Đặt $t=2m;t>0$, ta có hàm $f(t)=\frac{t^{2}\sqrt{t}}{\sqrt{t^{4}+t}+\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{t^{3}+1}-1}{t},$ xét hàm $f(t)$ trên $(0;+\infty )$
$\Rightarrow f'(t)=\frac{\frac{3t^{3}}{2\sqrt{t^{3}+1}}-\sqrt{t^{3}+1}+1}{t^{2}}$
$f'(t)=\frac{t^{3}-2+2\sqrt{t^{3}+1}}{2t^{2}\sqrt{t^{3}+1}}$
$f'(t)=0\Rightarrow t^{3}-2+2\sqrt{t^{3}+1}=0$
$\Leftrightarrow t=0$ (loại)
Vậy $f'(t)>0;\forall t \in (0;+\infty)$
Vậy $f(t)$ là hàm đồng biến trên $(0;+\infty)$ nên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ xảy ra ở biên, điều này không xảy ra
KẾT LUẬN: Không tồn tại điểm $m$ thoả đề
Điểm bài: 10
S = 23 + 10*3 = 53
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-04-2013 - 20:54
Chấm bài