Thông điệp Từ Bình Kaluza - Klein - Lịch sử toán học

Bài viết sau đây gồm hai phần, cơ bản và nâng cao, sẽ giúp bạn tìm hiểu về lịch sử thuyết Kaluza - Klein.

Trước khi mất, Einstein đã cố́ gắng những bước tính sau cùng cho lý thuyết trường thống nhất của mình. Ông đã xây dựng nó trong suốt 30 năm dòng dã, và sửa đôỉ thuyết tương đối rộng của mình sao phù hợp với những miêu tả của các lực điện từ, và kết quả, ông đã thất bại. Một trong những niềm hy vọng lớn nhất của ông, đã được lóe sáng vào một chiều năm 1919, khi ông mở hòm thư của mình. Ý tưởng xuất phát, không do ông, mà từ một lá thư của nhà toán học có tên là Theodor Kaluza.

Cái mà Einstein đã đọc là một lời đề nghị về viẹc làm sao có thể thống nhất các lực điện ( electrical forces) với lực hấp dẫn. Lý thuyết có một điểm khác lạ. Einstein hồi âm lại " Ý tưởng đạt được một thuyếṭ thống nhất dựa trên việc hình thành một thế giới 5 chiều, chưa bao giờ nảy ra trong đầu tôi..." Một ống 5 chiều ? Sao người ta lại có thể nghĩ ra được cái ý tưởng như vậy nhỉ ? Không ai biết được vì sao Kaluza đã có đựoc ý tưởng kỳ lạ trên, nhưng Einstein đã viết lại " Tôi thích ý tưởng này rất nhiều ". Thực tế, Kaluza là người đi đầu trong ý tưởng này thời bấy giờ, nhưng ông đã không chia sẻ nhiều cho người khác biết được về ý tưởng của ông.

Như chúng ta đã biết, thuyết tương đối rộng miêu tả làm sao vật chất ảnh hưởng đến không gian metric, ở đó các thành phần - hệ số $g$ - chỉ ra cho ta biết làm thế nào để đo được khoảng cách giữa hai điểm kề nhau, trên các hệ trục tọa độ khác nhau. Hệ số g phụ thuộc vào số chiều của không gian. Ví dụ, trong không gian 3 chiều $g = 6$. Trong không gian phẳng, khoảng cách $d = \delta x^2 + \delta y^2 + \delta z^2$ nên $g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=1$ và hệ số tương ứng với các thành phần $g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=0$, không có biểu hiện. Trong không gian 4 chiều phi Ơclit (Euclidean) của thuyết tương đối rộng, có tất cả 10 hệ số $g$. (Ở đó, tẩt cả đều được miêu tả bằng các phương trình Einstein. Kaluza nhận thấy rằng nếu nâng số chiều lên con số 5, thì sẽ xuất hiện thêm các hệ số g ứng với chiều không gian thêm đó.

Và Kaluza tự hỏi : Nếu như biến đổi các phương trình trường Einstein ứng với 5 chiều, những phương trình nào ta sẽ nhận được ứng với các hệ số g ? Câu trả lời là : ta sẽ nhận được các phương trình Maxwell dùng trong trường điện từ. Từ chiều thứ 5, điện từ sẽ hợp thành với hấp dẫn. Einstein đã viết " Lý thuyết thống nhất của ông đã được định dạng..."

Tất nhiên, giải thích tính metric của chiều không gian bù dựa trên các đặt tính vật lý của trường điện từ cần đến nhiều công việc trên mặt lý thuyết. Và đâu là điểm khác lạ của chiều không gian bù ? Kaluza quả quyết rằng nó có độ dài giới hạn, nó quá nhỏ để ta có thể phát hiện được. Không những vậy, Kaluza còn cho rằng, chiều không gian mới này sẽ dẫn đến topo mới, như việc một vòng tròn sẽ thay thế một đuờng thẳng. Nó là vòng đóng, " xoắn' ( không giống như đường giới hạn, vòng này không có điểm đầu hay điểm cuối). Tưởng tượng về đoạn ngã thứ 5 này, không cùng với bề rộng, đơn giản nó là một đuờng. Cắt ngang các đoạn đường, trong chiều không gian kaluza mới, sẽ là đi vòng trên ngã 5 đó. Khi cộng thêm chiều vào, thì nó không dẫn đến việc một đường xoắn lại thành vòng tròn mà là thành một ống, như ống nước tưới. Một ống rất rất nhỏ.

Ống nước tưới

Điểm chú ý của Kaluza đó là sự kết hợp của hấp dẫn và điện từ vào trong một thể, nhưng vì chiều không gian thứ 4 này quá nhỏ nên ta không thể phát hiện được sự hợp nhất giữa chúng. Einstein có ý nghĩ thứ 2 về thuyết Kaluza, nhưng sau đó ông đã thay đổi ý tưởng của mình, và giúp Kaluza công bố nó vào năm 1921.

Oskar Klein

Năm 1926, Oskar Klein, một phó giáo sư tại đại học Michigan cũng dẫn tới cùng kết luận như Kaluza về sự hình thành của chiều thứ 5, và có một sự cái tiến đáng kể hơn. Ông hiểu rằng thuyết đó chỉ dẫn đến việc chỉnh sửa các phương trình chuyển động của hạt, nếu một hạt có những giá trị động lượng xác định trong chiều không gian huyền bí thứ 5. Những giá trị " cho phép" này là bội số của một giá trị động lượng cực tiểu. Nếu bạn cho rằng, như Kaluza đã làm, chiều không gian thứ 5 này ở dạng đóng, bằng cách sử dụng thuyết lượng tử, ta có thể tính được động lượng cực tiểu của cái trong chiều không gian xoắn thứ năm này. Nếu nó trở nên có thể quan sát được, kích thước siêu vi, thuyết này sẽ gặp khó khăn bởi vì chúng ta chưa bao giờ quan sát được chiều không gian mới này. Nhưng nếu nó nhỏ tới $10^{-30}$ thì không có vấn đề gì, bởi vì lúc này, chúng đã bị ẩn hoàn toàn.

Thuyết Kaluza - Klein là chìa khóa của một thứ khác, là sợi dây liên kết giữa các lý thuyết, nhưng không phải là cấu trúc cái có thể dẫn đến những điều mới lạ. Sau đó vài năm các nhà vật lý đã tìm kiếm những dự đoán có thể có từ thuyết này, khá giống với những gì mà Klein đã nghĩ về kích thước của chiều không gian mới. Họ đã phát triển những lập luận mới cái dường như trả lời cho việc dự đoán tỉ số giữa khối lượng electron và điện tích của nó. Nhưng dự đoán này đã bi bỏ quên. Các nhà vật lý sau đó cũng nản lòng về chiều không gian thứ 5.

Einstein là người xem xét vấn đề này sau cùng, vào năm 1938.

Theodor Kaluza

Kaluza qua đời một năm trước khi Einstein mất, và đã không tiến được gì xa hơn trong lý thuyết của mình. Nhưng ông đã mở ra một con đường lớn từ lý thuyết táo bạo của mình. Khi Kaluza viết cho Einstein, ông ́ 34 tuổi, và xây dựng gia đình được 10 năm. Lương của ông đươc miêu tả dưới công thứ toán học mà ông thích : mỗi học kỳ ông nhận 5xy điểm của Đức, ở đó x là số học sinh trong lớp học của ông và y là thời giờ ông giảng dạy mỗi tuần. Mỗi lớp có 10 học sinh, và dạy 5 tiếng trong 1 tuần, như vậy một năm ông có được 1000 điểm. Năm 1926, Einstein đã tả về hoàn cảnh này giống như schwierig rằng " Only a dog should live that way". Với sự giúp đỡ của Einstein, Kaluza cuối cùng đã trở thành giáo sư tại đại học Kiel năm 1929. Ông chuyển tới Gottingen năm 1935, với cương vị giáo sư chính thức. Ông đã sống và làm việc ở đây 19 năm cho tới khi ông qua đời.

Mãi đến những năm 1970, khả năng về các chiều không gian mới mới được xem xét một cách thận trọng hơn bằng chứng là sự ra đời của thuyết dây.

Còn tiếp ...

Kaluza bắt đầu xây dựng thuyết của mình từ năm 1919, trong nỗ lực thống nhất Điện từ học và Thuyết tương đối rộng. Ý tưởng chính của ông đó là việc đề xuất một chiều không gian mới, chiều thứ 5, nhưng tất cả các trường là độc lập trong chiều không gian bù này. Điểm khởi đầu, sau đó là một hấp dẫn thuần túy 5 chiều trong đó là do sự độc lập của hệ trục tọa độ thứ 5, các trường có thể được biểu diễn trong các trường 4 chiều. Chúng ta sẽ thấy không gian 4 chiều sẽ dẫn đến một metric, một trường Maxwell và một scalar ( độ lớn, không có chiều ).
Năm 1926, Oskar Klein mở rộng ý tưởng này. Thay bằng việc giả sử độc lập của chiều không gian bù, ông cho rằng nó có thể là compact. Điều này có nghĩa rằng, chiều không gian thứ 5 sẽ có topo là một đường tròn, với bán kính ở thang đó Planck. Không -thời gian 5 chiều có topo là $\mathbb{R}^4 \times S^1$, và hệ trục tọa độ thứ năm là tuần hoàn, $0 \leq my \leq 2\pi$ ở đó $m$m là nghịch đảo bán kính đường tròn. Nhận thức bình thường về không -thời gian sẽ không thể nào giúp ta quan sát được chiều không gian bù này. Bởi vì tính tuần hoàn của chiều không gian bù có thể làm cho một khai triển Fourier là trục tọa độ và sẽ dẫn đến một tháp vô haṇ của các trường trong không gian 4 chiều. Nhưng chúng ta sẽ tập chung vào những bước biên đổi ban đầu, nó sẽ dẫn đến rút gọn mà Kaluza đã giới thiệu.

Ta bắt đầu với một gốc tự do không thời gian 5 chiều ( hấp dẫn thuần túy) . ( Quy ước, có mũ là các trường trong không gian 5 chiều, không có mũ là các trường trong không gian 4 chiều) Công thức miêu tả của Kaluza

$$S^5=-\int d^5x\sqrt{\hat g}\hat R$$
Giờ ta biểu diễn đại lượng không gian 5 chiều vào trong không gian 4 chiều. Định thức metric rút gọn thành :
$$ \hat g = \mbox{det}(\hat g_{\hat\mu\hat\nu}) = \ -\mbox{det}(g_{\mu\nu})\phi=\ -g\phi$$
Sự rút gọn của độ lớn đòi hỏi bước tính toán dài hơn, dưới dây là kết quả :

$$ \hat R = R +\ \dfrac{1}{2\phi^2}(\partial\phi)^2 - \dfrac{1}{\phi} {\partial \phi} + \ \dfrac{1}{4} \phi F^{\mu \nu} ( A) $$
Ở đó $ F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $. Nếu ta thế vào công thức ở không gian 5 chiều, với việc giả sử rằng tích phân dưới trục tọa độ thứ 5 $\int dx^5 = 1$. Ta sẽ thu được

$$ S^{(4)} = \int d^4x \sqrt{-g\phi} \left\{ -R - \dfrac{1}{2\phi ^2} (\partial \phi)^2 + \ \dfrac{1}{\phi} \partial \phi - \ \dfrac{1}{4} \phi F(A)^2 \right\} $$

Hai thành phần chứa đạo hàm của $\phi$ sẽ triệt tiêu, lúc đó ta thu được :$$S^{(4)}=\int d^4x \sqrt{-g} \phi^{\dfrac{1}{2}} \left\{ -R - {\textstyle{1\over 4}}\phi F(A)^2 \right\} $$
Giờ ta viết biểu thức trên chứa một thành phần trong phương trình của Einstein ( thành phần vật chất). Bỏ qua thành phần độ lớn ở phía trước của curvature scalar ( độ cong ). Chúng ta có thể biến đổi nó, dựa trên tính chất của metric :
$$g_{\mu\nu} \to g'_{\mu\nu} = \phi^{\dfrac{1}{2}} g_{\mu\nu}$$
Khi đó :
$$ R=\phi^{\dfrac{1}{2}} \left[ R' + {\textstyle{3\over 2}}( \partial_\rho ( \dfrac{1}{\phi} \partial \phi ) - \ \dfrac{1}{4 \phi^2} ( \partial ^{\rho} \phi)^2) \right]$$
Với : $ F^2 = \phi F'^2 ; \sqrt{-g} = \phi^{-1} \sqrt{-g'}$

Nếu ta biển diễn sự biến đổi về độ lớn :
$$ \phi \to \phi'=\sqrt{3} \log \phi$$
Biểu thức ở không gian 4 chiều có thể được viết dưới dạng sau :

$$ S = \int d^4 x \sqrt{-g} \left\{ - R + \dfrac{1}{2} \delta_{\mu}\phi \delta^{\mu}\phi - \ e^{-3\sqrt{3} \phi} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}\right\}$$
Có thể thấy Kaluza đã thành công trong việc thống nhất điện từ và hấp dẫn, nhưng độ lớn ( scalar) xuất hiện trong biểu thức để lại mốt khó khăn không nhỏ cho các nhà vật lý ở những năm 20. Mãi về sau, những năm 70 trờ lại đây, người ta mới bắt đầu nghiên cứu sự ảnh hưởng của không gian nhiều chiều, và phương pháp của Kaluza - Klein đã đi tiên phong, mở đường cho nhiều ý tưởng, lý thuyết sau này.

Thông điệp Từ Bình Kaluza - Klein

#1
Lim

Đã gửi 24-01-2005 - 03:24

#2
Lim

Đã gửi 24-01-2005 - 05:17

1 người đang xem chủ đề

Thông điệp Từ Bình Kaluza - Klein

#1 Lim Đã gửi 24-01-2005 - 03:24

#2 Lim Đã gửi 24-01-2005 - 05:17

1 người đang xem chủ đề

Đăng nhập

#1
Lim

Đã gửi 24-01-2005 - 03:24

#2
Lim

Đã gửi 24-01-2005 - 05:17