Chủ đề này có 6 trả lời

[huyxxbian]

Cho a,b,c >0, a + b + c = 1, Chứng minh rằng
           $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 3(a^2+b^2+c^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 02-04-2013 - 19:51

[buiminhhieu]

sao lại gửi bài ở trang này

[Nguyen Tho The Cuong]

Cho a + b + c = 1, Chứng minh rằng
           $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 3(a^2+b^2+c^2)$

đề sai rồi bạn ạ.

[huyxxbian]

bạn chứng minh được đề sai 

 

đề sai rồi bạn ạ.

[Christian Goldbach]

đề sai rồi bạn ạ.

Mình nghĩ đề ko sai đâu nhưng mình chưa cm đc@

[25 minutes]

đề sai rồi bạn ạ.

 

Lần sau bạn không chứng minh 1 bất đẳng thức là đúng hay sai thì đừng có nói trước 

Cho a + b + c = 1, Chứng minh rằng
           $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 3(a^2+b^2+c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có 

              $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(a^2b+b^2c+c^2a)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

    $\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$

Do đó ta sẽ chứng minh $ \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)$

                            $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

                            $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$

Áp dụng bất đẳng thức sau : (Đã được chứng minh ở Box THPT và Olympic)

                                    $a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

                            $\Rightarrow 3(a^2b+b^2c+c^2a+abc) \leq \frac{4}{9}(a+b+c)^3=\frac{4}{9}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $a^2+b^2+c^2+3abc \geq \frac{4}{9}$

                                     $\Leftrightarrow 1-2(ab+bc+ac)+3abc \geq \frac{4}{9}$

                                     $\Leftrightarrow \frac{5}{9}-2(ab+bc+ac)+3abc \geq 0$

Đặt $q=ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3},r=abc,p=a+b+c=1$

BĐT trên trở thành $\frac{5}{9}-2q+3r \geq 0$

Sử dụng bất đẳng thức Schur ta có $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$

                                             $\Rightarrow \frac{5}{9}-2q+3r \geq \frac{5}{9}-2q+\frac{4q-1}{3}=\frac{2}{9}-\frac{2q}{3}\geq 0$, do $q\leq \frac{1}{3}$

Vậy bđt ban đầu được chưng minh xong

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[huyxxbian]

Vì $ a+b+c=1 \Rightarrow (a+b+c)^2=1 $ hay $ a^2 +b^2+c^2 +2ab+2bc+2ac =1 $
    $a+b+c=1 \Rightarrow 2(a+b+c) -(a+b+c) =1 $
Biến đổi tương đương, cộng vào hai vế của bất phương trình cùng một lượng có giá trị bằng (-1)
$(\frac{a^2}{b}-2a +b)+(\frac{b^2}{c}-2b+c)+(\frac{c^2}{a}-2c+a) \ge 3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac))$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\ge(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{1}{b}-1)+(b-c)^2(\frac{1}{c}-1)+(c-a)^2(\frac{1}{a}-1)     \ge 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(\frac{a+c}{b})+(b-c)^2(\frac{b+a}{c})+(c-a)^2(\frac{c+b}{a})\ge 0$ ( Luôn đúng, vì a,b,c dương )
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c = 1/3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 03-04-2013 - 15:31