Chủ đề này có 23 trả lời

[legialoi]

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9

Khóa ngày 28 tháng 03 năm 2013

MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

Câu 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

$$P = \left ( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right )\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right )^{2}$$

1. Rút gọn $P$.

2.Tìm $x$ để $P > 2\sqrt{x}$.

 

Câu 2.(3,0 điểm)

1. Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$.

2. Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant 16$.

 

Câu 3 . (3,0 điểm )

Cho 100 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100. Xếp một cách tùy ý 100 số trên nối tiếp nhau thành một dáy các chữ số ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 2007 không ?

 

Câu 4. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình $4x^{2}+10x+9 = 5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ .

2. Giả sử bộ ba số thực $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ:

$$\left\{\begin{matrix} x+1=y+z\\ xy+z^{2}-7z+10 = 0 \end{matrix}\right. (I)$$  .

Tìm tất cả các bộ ba $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ $(I)$ sao cho $x^{2}+y^{2}=17$.

 

Câu 5 .(5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và đường cao $AH$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ cắt $AB,AC$ lần lượt ở $M$ và $N$. Vẽ hình chử nhật $AMDC$.

a) Chứng minh rằng $\frac{AM}{CH}=\frac{AN}{ẠH}$.

b) Chứng minh rằng $HN$ vuông góc với $HD$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-04-2013 - 15:58

[FillTheHoleInWall]

thầy $p>2\sqrt{x}$ chơ

[Christian Goldbach]

Câu2:

1) biến đổi tương đương

2) $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{4}{c(a+b)}\geq \frac{4}{\frac{(a+b+c)^2}{4}}=16$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrMathCSKH0110: 30-03-2013 - 20:25

[Christian Goldbach]

Câu 3: Xét tổng chữ số của 100 số không chia hết cho 9$\Rightarrow$ A không chia hết cho 2013

[FillTheHoleInWall]

BÀI 1: Thầy coi giúp em sai chổ nào với

a)ĐKXĐ $\left\{\begin{matrix} x>0 & & \\ x\neq 1& & \end{matrix}\right.$

$P=\frac{(x-2\sqrt{x}+1)-(x+2\sqrt{x}+1)}{x-1}.(\frac{1-x}{2\sqrt{x}})^2$

    $=\frac{-4\sqrt{x}}{x-1}.\frac{(x-1)^2}{4x}$

    $=\frac{-(x-1)}{\sqrt{x}}$

    $=\frac{1-x}{\sqrt{x}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FillTheHoleInWall: 30-03-2013 - 22:03

[FillTheHoleInWall]

b)$1-x>2x$

$\Rightarrow x<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow 1-3x>0$

$\Rightarrow0<x<\frac{1}{3}$

[FillTheHoleInWall]

BÀI 2:

a)Với $a,b>0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\geq 0$

$\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\geq 0$

$\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}\geq 0$

$\left\{\begin{matrix} (a+b)^2-4ab=(a-b)^2\geq 0 & & \\ ab(a+b)>0& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow BDT dung$

Xảy ra dấu $=$ $\Leftrightarrow a=b$

[FillTheHoleInWall]

BÀI 4:

a)Đặt $a=\sqrt{2x^2+5x+3}\Rightarrow a\geq 0$

$PT:2a^2+3=5a$

$\Leftrightarrow 2a^2-5a+3=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3}{2} & & \\ a=1& & \end{matrix}\right.$

Với $a=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{19}}{4}$

với $a=1$

$\Rightarrow x=-\frac{1}{2},-2$

[Nguyen Tho The Cuong]

4a) đặt $\sqrt{2x^{2}+5x+3}=a\Rightarrow 2a^{2}+3=4x^{2}+10x+9\Rightarrow PT\Leftrightarrow 2a^{2}+3=5a$. Từ đây ta tìm được a rồi tìm được x

[FillTheHoleInWall]

Ta có $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=17& & \\ x-y=z-1& & \end{matrix}\right.\Rightarrow z=6$

$thay z=6 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=5 & & \\ xy=-4& & \end{matrix}\right.$

$(x,y,z)=(4;-1;6)(1;-4;6)$

[Nguyen Tho The Cuong]

Câu 5 .(5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Một đường tròn đi qua B và C cắt AB,AC lần lượt ở M và N. Vẽ hình chử nhật AMDC.

a)Chứng minh rằng $\frac{AM}{CH}=\frac{AN}{ẠH}$.

B)Chứng minh rằng HN vuông góc với HD.

 

a) ta có $\Delta AMN\sim \Delta HCA(\sim ABC)$ nên ta có (đpcm)

b)Từ câu ta có $\frac{AN}{AH}=\frac{NM}{CA}=\frac{NM}{DM}$ do $\widehat{NMD}=\widehat{ANM}=\widehat{NAH}$ nên $\Delta ANH\sim \Delta MND\Rightarrow \widehat{NHA}=\widehat{MDN}\Rightarrow \widehat{CDN}=\widehat{CHN}\Rightarrow \widehat{NHD}=\widehat{ACD}=90^{\circ}$

[FillTheHoleInWall]

CÂU 5:

a)ta có $AM.AB=AN.AC$

$\Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AC}{AB}$

mà $\frac{AC}{AB}=\frac{CH}{AH}$

$\Rightarrow dpcm$

b)Đồng dạng nên hai góc nhỏ bằng nhau nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FillTheHoleInWall: 30-03-2013 - 21:26

[FillTheHoleInWall]

CÂU 2B em làm ri được ko thầy

$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{4}{ac+bc}\geq \frac{16}{(a+c)^2+(b+c)^2}$

Cần CM $(a+c)^2+(b+c)^2\geq 1$

$a^2+b^2+c^2+2ac+2bc+c^2\geq 1$

Cần CM $c^2\geq2ac$

$c\geq 2a$

$1\geq 3a+b$

Ta phải có (CM được) $\Rightarrow 0<a\leq \frac{1}{3}$

$\Rightarrow 0<3a\leq 1\Rightarrow 0<3a+b\leq 1+b$

$1+b\geq 1(b>0)$

đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FillTheHoleInWall: 30-03-2013 - 21:52

[darkevil]

bài 1

a/ kết quả=\frac{1-x}{\sqrt{x}}

  <<Điều kiện xác định :$x\geq 0; x\neq 1$>>

b/$P=\frac{1-x}{\sqrt{x}}> \sqrt{x}\Leftrightarrow 1-x>x\Leftrightarrow x< \frac{1}{2}$

kết hợp điều kiện xác định $\Rightarrow 0\leq x<\frac{1}{2}$

bài 2.a

giả sử:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab$ vì a,b dương

$a^{2}+b^{2}-2ab\geq 0\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng )

vậy đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darkevil: 30-03-2013 - 22:01

[FillTheHoleInWall]

bài 1

a/ kết quả $\frac{-1}{\sqrt{x}}$ <<Điều kiện xác định :$x\geq 0; x\neq 1$>>

b/ P=$\frac{-1}{\sqrt{x}}> \sqrt{x} \Leftrightarrow x+1< 0$ vì $\sqrt{x}\geq 0\$

$\Leftrightarrow x<-1$ (k.tm điều kiện xác định)

vậy k tồn tại x t/m điều kiện đề bài

bài 2.a

giả sử:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\geq \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab$ vì a,b dương

$a^{2}+b^{2}-2ab\geq 0\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 0$ (luôn đúng )

vậy đpcm

bạn phân tích có sai ko vậy

[darkevil]

bài giải phương trình ĐKXĐ $x\leqslant \frac{-3}{2}$ hoặc$x\geq 0$

đặt căn=y (y>0)

phương trình tương đương

2y²-5y+3=0  

<=>y=1 <>  x=-2 hoặc x=-1/2

hoặc y=3/2 <> $x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{4}$

thỏa mãn điều kiện xác định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi darkevil: 30-03-2013 - 22:12

[FillTheHoleInWall]

bài giải phương trình ĐKXĐ $x\leqslant \frac{-3}{2}$ hoặc$x\geq 0$

đặt căn=y (y>0)

phương trình tương đương

2y²-5y+3=0  

<=>y=1 <>  x=-2 hoặc x=-1/2

hoặc y=3/2 <> $x=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{4}$

thỏa mãn điều kiện xác định

Sai nghiệm bạn ơi ,ĐKXĐ có "hoặc" à

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FillTheHoleInWall: 31-03-2013 - 08:52

[legialoi]

Câu 3: Xét tổng chữ số của 100 số không chia hết cho 9$\Rightarrow$ A không chia hết cho 2013

BẠN NHẦM RỒI,TỔNG CÁC CHỬ SỐ MỚI ĐÚNG

[legialoi]

b)$1-x>2x$

$\Rightarrow x<\frac{1}{3}$

$\Rightarrow 1-3x>0$

$\Rightarrow0<x<\frac{1}{3}$

EM VIẾT SUY RA LÀ KHÔNG CHÍNH XÁC RỒI.TƯƠNG DƯƠNG CHỨ

[legialoi]

BÀI 2:

a)Với $a,b>0$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\geq 0$

$\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\geq 0$

$\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}\geq 0$

$\left\{\begin{matrix} (a+b)^2-4ab=(a-b)^2\geq 0 & & \\ ab(a+b)>0& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow BDT dung$

Xảy ra dấu $=$ $\Leftrightarrow a=b$

CHỨNG MINH NHƯ EM LÀ BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VỀ BDT LUÔN ĐÚNG. EM CHƯA CÓ DẤU TƯƠNG ĐƯƠNG