KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
Khóa ngày 28 tháng 03 năm 2013
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
$$P = \left ( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \right )\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2} \right )^{2}$$
1. Rút gọn $P$.
2.Tìm $x$ để $P > 2\sqrt{x}$.
Câu 2.(3,0 điểm)
1. Cho $a,b$ là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$.
2. Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant 16$.
Câu 3 . (3,0 điểm )
Cho 100 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100. Xếp một cách tùy ý 100 số trên nối tiếp nhau thành một dáy các chữ số ta được số A. Hỏi A có chia hết cho 2007 không ?
Câu 4. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình $4x^{2}+10x+9 = 5\sqrt{2x^{2}+5x+3}$ .
2. Giả sử bộ ba số thực $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ:
$$\left\{\begin{matrix} x+1=y+z\\ xy+z^{2}-7z+10 = 0 \end{matrix}\right. (I)$$ .
Tìm tất cả các bộ ba $(x,y,z)$ thỏa mãn hệ $(I)$ sao cho $x^{2}+y^{2}=17$.
Câu 5 .(5,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và đường cao $AH$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ cắt $AB,AC$ lần lượt ở $M$ và $N$. Vẽ hình chử nhật $AMDC$.
a) Chứng minh rằng $\frac{AM}{CH}=\frac{AN}{ẠH}$.
b) Chứng minh rằng $HN$ vuông góc với $HD$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-04-2013 - 15:58