Đến nội dung

Hình ảnh

Nesbitt


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Sau khi đọc xong một vài quyển sách có nói về BĐT Nesbitt, mình xin chia sẻ với diễn đàn một số cách chứng minh BĐT này:

Đề bài: Chứng minh với mọi a, b, c >0 thì:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.

( sách  Những con đường khám phá lời giải Bất đẳng thức-NXB Sư phạm-chương 5)

Cách 1:

Đặt $T= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}; Q=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}; P=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}$.

Ta có: $T+Q\geq 3;

$T+P\geq 3$ $\Rightarrow 2T+P+Q\geq 6$;

mà $P+Q=3$$\Rightarrow T\geq \frac{3}{2}$.

Cách 2: Sử dụng BĐT Vasile Cirtoaje

$\left ( a^{2}+b^{2} +c^{2}\right )^{2}\geq 3\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right ):$

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq 3\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^{4}}{a^{3}b+a^{3}c}+\frac{b^{4}}{b^{3}c+b^{3}a}+\frac{c^{4}}{c^{3}a+c^{3}b}$

$\geq \frac{1}{2}\frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right )+\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )}$

$\geq \frac{1}{2}\frac{3\left ( a^{b}+b^{3}c+c^{3}a \right )+\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )}{\left ( a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \right )+\left ( ab^{3}+bc^{3}+ca^{3} \right )}=\frac{3}{2}$

Cách 3:

Bổ đề:

 

$\sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ với a,b,c>0>

Ta chứng minh bổ đề như sau:

$\sum \sqrt[3]{\left ( \frac{2a}{b+c} \right )^{2}} = \sum\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left ( b+c \right )^{2}}}\geq \sum \frac{2a}{\frac{2a+2(b+c)}{3}}= \sum \frac{3a}{a+b+c}=3$;

vậy ta đã chứng minh xong bổ đề

Áp dụng bổ đề và BĐT AM-GM ta có:

$\sum \frac{\frac{a}{b+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{1}{2}}{3}\geq \sum \sqrt[3]{\left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}.\frac{1}{2}}\geq \frac{3}{2}.$

từ đó có đpcm.

Trên đây là một vài cách chứng minh, mình có một số BĐT cũng liên quan tới BĐT Nesbitt, mời các bạn cùng giải cho vui:

1) với mọi a,b,c>0 chứng minh:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{2abc}{3a^{3}+3b^{3}+3c^{3}}\geq \frac{31}{18}$

2) Chứng minh rằng:$a\geq b\geq c> 0$

 thì $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}+\frac{\left ( a-c \right )^{2}}{ab+bc+ca}$

3)Chứng minh rằng : với a,b,c>0

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{27abc}{2\left ( a+b+c \right )^{2}}\geq 2$

4)Chứng minh với a,b,c>0

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+4\frac{\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 5$



#2
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Sau khi đọc xong một vài quyển sách có nói về BĐT Nesbitt, mình xin chia sẻ với diễn đàn một số cách chứng minh BĐT này:

Đề bài: Chứng minh với mọi a, b, c >0 thì:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$.

( sách  Những con đường khám phá lời giải Bất đẳng thức-NXB Sư phạm-chương 5)

Cách 1:

 

Thực sự trên mạng đã nói nhiều về vấn đề này, và đã có rất nhiều cách chứng minh Nesbitt, xem tại đây !

___

NLT


GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#3
mbrandm

mbrandm

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

tài liệu mình đọc có phân nhóm các lời giải, và mình biết có đến 51 cách chứng minh lận



#4
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

tài liệu mình đọc có phân nhóm các lời giải, và mình biết có đến 51 cách chứng minh lận

 

Thế thì thay vì post cách 1, cách 2, cách 3,... bạn có thể up tài liệu đó lên diễn đàn để mọi người cùng học tập, có ích hơn là gõ $\LaTeX$ trong 1 topic như thế này, sẽ mất nhiều thời gian và công sức lắm bạn ạ :)

 

Spoiler

___

NLT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 31-03-2013 - 08:27

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh