Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Tho The Cuong]

Tìm tất cả các sô tự nhiên x,y  để $2^{x}+5^{y}=k^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 09:49

[chrome98]

Giải:

Xét nếu $x=1,2$, phần này dễ rồi.

Xét nếu $x\ge 3$ khi đó $k^2\equiv 5^y\equiv 1,4\mod 8\implies 5^y\equiv 1,4\mod 8\implies (-3)^y\equiv 1,4\mod 8$, suy ra $y$ chẵn.

Nếu $y=0$ thì $2^x+1=k^2$, ở đây, ta xét nếu $x$ chẵn thì đưa về phương trình ước số. Ta chỉ xét $x$ lẻ,$x=1$ loại, $x=3$ thoả mãn, xét $x>3$, khi đó ta có phương trình Pell $X^2-2Y^2=1$, và dãy các nghiệm của nó là :

\[ \begin{cases} x_0=1, x_1=3, x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n \\ y_0=0, y_1=2, y_{n+2}=6y_{n+1}-y_n \end{cases}\]

Xét số dư của $(y_i)$ ta được

$(y'_0,y'_1,y'_2,y'_3,y'_4,y'_5,y'_6,y'_7,y'_8,y'_9,y'_{10},y'_{11},y'_{12},y'_{13},y'_{14},y'_{15},y'_{16},y'_{17},y'_{18},y'_{19},y'_{20},y'_{21},y'_{22},...)=(0, 2, 4,6,0,2,4,6,0,2,4,6,0,2,4,6,0,2,4,6,0,2,4,...)$

nên $i=4k$ thoả mãn $8|y_i$ nhưng mặt khác nếu xét số dư của $(y_i)$ cho $3$ ta cũng thu được các số chia hết cho $3$ mang chỉ số chẵn. Kết luận được trường hợp này vô nghiệm.

Xét $y>0$, ta đưa phương trình về dạng : $2^x=(k-5^m)(k+5^m)$, do $v_2((k+5^m)-(k-5^m))=v_2(2\cdot 5^m)=1$, và $k+5^m>k-5^m$, nên ta có

\[ k-5^m=2 , k+5^m=2^{x-1}\implies 5^m=2^{x-2}-1, k=2^{x-2}+1 \]

Ta lại thấy nếu $y\ge 2$ thì vế trái $5|5^m$, nên ta có $x-2$ phải là số chia hết cho $4$. Từ đây ta lại có tiếp $5^m\equiv (-3)^m\equiv -1\mod 8$, suy ra $m$ lẻ. Từ đây, ta có phương trình Pell : $X^2-5Y^2=1$ trong đó do $m>1$ (bởi nếu $m=1$ không có giá trị của $x$ thỏa mãn) nên $X=2^{\frac{x-2}{2}}, Y=5^{\frac{m-1}{2}}$. Phương trình này có dãy các nghiệm của nó là :

\[ \begin{cases} x_0=1, x_1=9, x_{n+2}=18x_{n+1}-x_n \\ y_0=0, y_1=4, y_{n+2}=18y_{n+1}-y_n \end{cases} \]

Từ đây dễ thấy dãy ta đang cần là một lúy thừa của $2$ (dãy $x_0$) lại toàn số lẻ, nên trong trường hợp này ko có nghiệm tự nhiên.

Vậy phương trình chỉ có nghiệm duy nhất $\boxed{(x,y)=(3,0),(2,1)}$.

[nguyenta98]

Tìm tất cả các sô tự nhiên x,y  để $2^{x}+5^{y}=k^{2}$

Bài này hoàn toàn có thể làm mà không dùng Pell

Giải như sau:

Với $x=1$ thì $2+5^y=k^2$ khi đó $k^2 \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow 5^y \equiv 7 \pmod{8}$ vô lí vì không có $y$ thỏa mãn điều đó

Với $x=2$ thì $4+5^y=k^2 \Rightarrow 5^y=(k-2)(k+2) \Rightarrow k-2=5^p,k+2=5^q \Rightarrow 5^q-5^p=4 \Rightarrow p=0,q=1$ nên $y=1$

Lập luận một chút về modulo $8$ ta suy ra $y$ chẵn, do đó $y=2t$ nên $2^x+5^{2t}=k^2$ với $x,t,k\geq 0$

Khi đó $2^x=(k-5^t)(k+5^t)$ nên $k-5^t=2^m,k+5^t=2^n$ khi đó nếu $x=0$ thì $5^t=0$ vô lí nên $x\geq 1$ mà $k-5^t,k+5^t$ cùng tính chẵn lẻ nên $m,n\geq 1$ do đó $x\geq 2$ nên $2^n-2^m=2.5^t$ nên $2^{n-1}-2^{m-1}=5^t$ từ đó do $5^t$ lẻ nên $m-1=0 \Rightarrow m=1$ suy ra $2^{n-1}=5^t+1$, đến phương trình này, ta có một số kĩ thuật giải, thứ nhất có thể dùng zsigmondy để giải, thứ hai ta có thể dùng một chút về cấp số như sau:

Bổ đề: $2^{4.5^l}-1 \vdots 5^{l+1}$ mà $\not \vdots 5^{l+2}$ bổ đề này vô cùng dễ cm bằng quy nạp, tuy nhiên hệ quả của nó mới là vàng

Hệ quả: $4.5^l$ là cấp số của $2$ theo modulo $5^{l+1}$
Thật vậy nếu giả sử tồn tại $h$ để $2^h-1 \vdots 5^{l+1}$ mà $h<4.5^l$ theo định lý cơ bản cấp số suy ra $h|4.5^l$ mà $2^h-1 \vdots 5$ nên rõ ràng $h \vdots 4$ từ đó $h|4.5^l,h \vdots 4$ nên $h=4.5^j$ với $j<l$ khi ấy theo bổ đề ở trên $2^{4.5^j}-1 \vdots 5^{j+1}$ mà $\not \vdots 5^{j+2}$ mà $j<l$ nên $2^{4.5^j}-1 \not \vdots 5^{l+1}$ mâu thuẫn, như vậy hệ quả được cm

Áp dụng, do $2^{n-1}=5^t+1 \Rightarrow 2^{n-1}-1=5^t$ nên áp dụng hệ quả của bổ đề suy ra $n-1\vdots 4.5^{t-1}$ nên $n-1\geq 4.5^{t-1}$
Nên $5^t=2^{n-1}-1\geq 2^{4.5^{t-1}}-1=16^{5^{t-1}}-1$ đến đây bằng quy nạp dễ cm với $t\geq 1$ thì $5^t<16^{5^{t-1}}-1$ dẫn đến vô lí do đó buộc $t=1$ và $n=2$ suy ra $(x,y)=(3,0)$

Vậy $\boxed{(x,y)=(3,0),(2,1)}$

 

P/S nếu ta muốn giải bằng Zsigmody thì giải thế này $2^{n-1}-1=(2^2+1)^t$ từ đó dẫn đến $n$ phải bằng $2$ vì $n>2$ theo Zsigmody thì $2^{n-1}-1$ có một ước nguyên tố khác ước nguyên tố của $2^2+1$ mâu thuẫn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-03-2013 - 16:12