Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Tho The Cuong]

Cho n là số tự nhiên. Chứng minh nếu $A=2+2\sqrt{28n^{2}+1}$ là số nguyên thì A cũng là số chình phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-03-2013 - 09:45

[pinokio119]

Cho n là số tự nhiên. Chứng minh nếu $A=2+2\sqrt{28n^{2}+1}$ là số nguyên thì A cũng là số chình phương

Vì A nguyên =>...=> $28n^2+1$ là số chính phương $\Rightarrow 28n^2+1=(2m-1)^2\Rightarrow 28n^2+1=4m^2-4m+1\Rightarrow 7n^2=m(m-1)$

Vì (m,m-1)=1$\Rightarrow m\vdots 7$ hoặc $m-1\vdots 7$

Nếu$m\vdots 7 \Rightarrow n^2=\frac{m}{7}.(m-1)\Rightarrow \frac{m}{7}=a^2;m-1=b^2\Rightarrow b^2=7a^2-1$(vô lí do SCp chia 7 ko dư -1)

$m-1\vdots 7 \Rightarrow n^2=\frac{m-1}{7}.m\Rightarrow \frac{m-1}{7}=c^2;m=a^2\Rightarrow c^2=7d^2+1(tm)\Rightarrow 28n^2+1=(2c^2-1)^2\Rightarrow \sqrt{28n^2+1}=2c^2-1\Rightarrow 2\sqrt{28n^2+1}=4c^2-2\Rightarrow A=4c^2 \Rightarrow$ Đpcm

     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pinokio119: 31-03-2013 - 08:33

[Christian Goldbach]

Đặt: $28n^2+1=(2k-1)^2$$\Rightarrow 28n^2+1=4k^2-4k+1\Rightarrow 7n^2=k(k-1)$(1)

+)Xét k$\vdots 7$ (1) có dạng: $n^2=\frac{k}{7}(k-1);(k;k-1)=1\Rightarrow \left \{ \frac{k}{7}=a^2;k-1=b^2 \right.$$\Rightarrow b^2=7a^2-1(t/m)\Rightarrow k=7a^2$

+) Xét k-1 chia hết cho 7 tương tự