Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangdaikpro]

Bài 1 :

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d) : y=mx+1$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Để độ dài $AB$ nhỏ nhất thì $m=$ ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangdaikpro: 31-03-2013 - 17:46

[mrjackass]

Bài 1 :

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d) : y=mx+1$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Để độ dài $AB$ nhỏ nhất thì $m=$ ???

Giả sử $A$ và $B$ có tọa độ $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$ 

=> $y_A=x_A^2$ và $y_B=x_B^2$

Theo công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trên MP toạ độ 

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(x_A^2-x_B^2)^2}$

Mặt khác, $x_A$ và $x_B$ là 2 nghiệm PT $x^2-mx-1=0$ (PT này lúc nào cũng có nghiệm) nên theo định lí Viet $\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=m\\  x_Ax_B=-1 \end{matrix}\right.$

Do đó $x_A^2+x_B^2=(x_A+x_B)^2-2x_Ax_B=m^2+2$ và $x_A^4+x_B^4=(x_A^2+x_B^2)^2-2x_A^2x_B^2=(m^2+2)^2-2=m^4+4m^2+2$

=> $AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(x_A^2-y_B^2)^2}=\sqrt{x_A^2+x_B^2-2x_Ax_B+x_A^4+x_B^4-2x_A^2x_B^2}=\sqrt{m^2+4+m^4+4m^2+2-2}=\sqrt{m^4+5m^2+4}\geq \sqrt{4}=2$

Dấu "=" $\iff m=0$

Vậy $AB_{min}=2 \iff m=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 06-04-2013 - 00:27