Korea Final Round 2013
$\fbox{1}$ Cho $\Delta ABC(\hat{B}>\hat{C})$. $D \in AC$ thoả mãn $\widehat{ABD}=\widehat{C}$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDI$ giao với $AI$ tại $E(\ne I)$.Đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AB$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD$. Điểm $A'$ là điểm thoả mãn $AI=IA'$. Điểm $Q$ là giao điểm $JP$ và $A'C$. Chứng minh rằng :$QJ=QA'$.
$\fbox{2}$ Tìm $ f :\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ thoả mãn các điều kịên sau:
a.$ f(x)\ge 0\ \ \forall \ \ \ x\in\mathbb{R} $
b. Với $a;b;c;d \in \mathbb{R}$thoả mãn $ ab+bc+cd = 0 $ và
$$f(a-b)+f(c-d) = f(a)+f(b+c)+f(d) $$
$\fbox{3}$ Cho số nguyên $n \le 3$.Xét tập hợp $ T =\{ (i,j) | 1\le i < j\le n , i | j\} $. Đối với cac số thực không âm $ x_1 , x_2 ,\cdots , x_n $ thoả mãn $ x_1+x_2+\cdots+x_n = 1 $. Tìm giá trị lớn nhất của:
\[ \sum_{(i,j)\in T}x_i x_j \]
$\fbox{4}$ Cho $\Delta ABC$. $B_1;C_1$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp $\hat{B}$ và $\hat{C}$. $B_1C_1$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ tại $D(\ne A)$. $E$ là điểm thoả mãn : $B_1E \perp CA; C_1E\perp BA$. $ w $ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$. Tiếp tuyến của $ w $ tại $D$ cắt $AE$ tại $F$. G;H là các điểm thuộc $AE; w$ sao cho $DGH \perp AE$. Đường tròn ngọai tiếp $\Delta HGF$ cắt $ w $ tại $I(\ne H)$. J là chân đường vuông góc hạ từ $D $ xuống $AH$. Chứng minh $AI$ đi qua trung điểm $DJ$
$\fbox{5}$Cho a;b là 2 số nguyên dương ; $(a;b)=1$.Hai dãy $\{a_n\};\{b_n\}$ thoả mãn:
\[ (a+b\sqrt2 )^{2n}= a_n+b_n\sqrt2 \].
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n \le p$ thoả mãn $p | b_n$.
$\fbox{6}$
Đối với một hoán vị bất kì $ f :\{ 1, 2,\cdots , n\}\to\{1, 2,\cdots , n\} $ và xác định
\[ A =\{ i | i > f(i)\} \]
\[ B =\{ (i, j) | i<j\le f(j) < f(i)\ or\ f(j) < f(i) < i < j\} \]
\[ C =\{ (i, j) | i<j\le f(i) < f(j)\ or\ f(i) < f(j) < i < j\} \]
\[ D =\{ (i, j) | i< j\ and\ f(i) > f(j)\} \]
Chứng minh rằng: $ |A|+2|B|+|C| = |D| $.
File gửi kèm
-
Korea Final Round 2013.pdf 96.3K
179 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 31-03-2013 - 10:51
