Chủ đề này có 10 trả lời

[kunkute]

Tìm tât cả các hàm số $f$:$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x+y^{2}+z)=f(f(x))+yf(y)+f(z)\forall x,y,z \in \mathbb{R}$

[Idie9xx]

Tìm tât cả các hàm số $f$:$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$f(x+y^{2}+z)=f(f(x))+yf(y)+f(z)\forall x,y,z \in \mathbb{R}$

-Cho $y=0,z=0$ có $f(x)=f(f(x))+f(0)$

-Cho $y=-1,z=-1$ có $f(x)=f(f(x)) \Rightarrow f(0)=0$

Được $f(x+y^2+z)=f(x)+yf(y)+f(z)$

-Cho $y=0$ được $f(x+z)=f(x)+f(y)$ (hàm cộng tính )

-Cho $z=0$ có $f(x+y^2)=f(x)+yf(y)$

Đưa $y \rightarrow 0$ có $\lim_{y \rightarrow 0} f(x+y^2) = \lim_{y \rightarrow 0} f(x) + yf(y) =f(x)$

Được hàm $f$ liên tục kết hợp với cộng tính thành hàm côsi.

Nên $f(x)=ax$ thử lại với đề ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 01-04-2013 - 15:03

[perfectstrong]

-Cho $z=0$ có $f(x+y^2)=f(x)+yf(y)$

Đưa $y \rightarrow 0$ có $\lim_{y \rightarrow 0} f(x+y^2) = \lim_{y \rightarrow 0} f(x) + yf(y) =f(x)$

Được hàm $f$ liên tục kết hợp với cộng tính thành hàm côsi.

Nên $f(x)=ax$ thử lại với đề ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$ 

Cái đoạn này là mình thấy có vấn đề rồi. Làm sao bạn biết $\lim_{y \rightarrow 0}( f(x) + yf(y))=f(x)$. Bạn đâu có chắc $\lim_{y \rightarrow 0} (yf(y))=0$ hoặc $\lim_{y \rightarrow 0} f(x+y^2)=f(x)$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-04-2013 - 16:32

[Idie9xx]

Cái đoạn này là mình thấy có vấn đề rồi. Làm sao bạn biết $\lim_{y \rightarrow 0}( f(x) + yf(y))=f(x)$. Bạn đâu có chắc $\lim_{y \rightarrow 0} (yf(y))=0$ hoặc $\lim_{y \rightarrow 0} f(x+y^2)=f(x)$?

Minh nghĩ là $\lim_{y \rightarrow 0}(yf(y))=0$ là đúng chứ do $\lim_{y \rightarrow 0} y=0$ mà 

Nếu vấn đề là $\lim_{y \rightarrow 0} f(y)=\infty$ thì mình giải quyết thế này (không biết đúng không ):

Cho $x=z=0$ có $f(y^2)=y \cdot f(y)$ . Từ đó chứng minh được $f(y^{2^n})=y^{2^n-1} \cdot f(y)$

Vậy giả sử tồn tại $y<1$ mà $f(y)$ cực lớn thì theo chứng minh trên $f(y^{2^n})$ có giá trị hữu hạn với $n$ đủ lớn và $0<y^{2^n}<y<1$ nên $\lim_{y \rightarrow 0}(yf(y))=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 01-04-2013 - 19:53

[perfectstrong]

Minh nghĩ là $\lim_{y \rightarrow 0}(yf(y))=0$ là đúng chứ do $\lim_{y \rightarrow 0} y=0$ mà 

Nếu vấn đề là $\lim_{y \rightarrow 0} f(y)=\infty$ thì mình giải quyết thế này (không biết đúng không ):

Cho $x=z=0$ có $f(y^2)=y \cdot f(y)$ . Từ đó chứng minh được $f(y^{2^n})=y^{2^n-1} \cdot f(y)$

Vậy giả sử tồn tại $y<1$ mà $f(y)$ cực lớn thì theo chứng minh trên $f(y^{2^n})$ có giá trị hữu hạn với $n$ đủ lớn và $0<y^{2^n}<y<1$ nên $\lim_{y \rightarrow 0}(yf(y))=0$

Vấn đề nan giải chỗ, chưa chắc đã tồn tại $\lim_{y \rightarrow 0} f(y)$

[Idie9xx]

Vấn đề nan giải chỗ, chưa chắc đã tồn tại $\lim_{y \rightarrow 0} f(y)$

Mình thấy vấn đề này cũng không quá to tát

Nếu không có $\lim_{y \rightarrow 0} f(y)$ thì ta chỉ cần $\lim_{y \Rightarrow 0} y=0$ là đủ rồi còn trường hợp nếu $f(y)$ quá lớn thì đã có $f(y^{2^n})$ giải quyết vấn đề ( Ta chỉ cần thay $y$ bằng $y^{2^n}$ )

[perfectstrong]

Mình thấy vấn đề này cũng không quá to tát

Nếu không có $\lim_{y \rightarrow 0} f(y)$ thì ta chỉ cần $\lim_{y \Rightarrow 0} y=0$ là đủ rồi còn trường hợp nếu $f(y)$ quá lớn thì đã có $f(y^{2^n})$ giải quyết vấn đề ( Ta chỉ cần thay $y$ bằng $y^{2^n}$ )

Ý mình không đơn giản như vậy đâu. Hàm $f(y)$ chưa chắc đã có $\lim$ khi $y \to 0$, chẳng hạn $f$ tuần hoàn hoặc biến đổi loạn xạ thì sao?

[Idie9xx]

Ý mình không đơn giản như vậy đâu. Hàm $f(y)$ chưa chắc đã có $\lim$ khi $y \to 0$, chẳng hạn $f$ tuần hoàn hoặc biến đổi loạn xạ thì sao?

Vậy là bạn không hiểu ý mình rồi

Ta không cần $\lim$ của $f(y)$ khi $y \rightarrow 0$ cho dù nó là số nào đi nữa thì vẫn có $f(y)$ khi $y \rightarrow 0$ mà dù là $f(y)$ có giá trị bao nhiêu đi nữa thì khi nhân với $0$ là $\lim$ của $y$ khi $y \rightarrow 0$ thì vẫn bằng $0$

[funcalys]

Vậy là bạn không hiểu ý mình rồi

Ta không cần $\lim$ của $f(y)$ khi $y \rightarrow 0$ cho dù nó là số nào đi nữa thì vẫn có $f(y)$ khi $y \rightarrow 0$ mà dù là $f(y)$ có giá trị bao nhiêu đi nữa thì khi nhân với $0$ là $\lim$ của $y$ khi $y \rightarrow 0$ thì vẫn bằng $0$

Lấy hàm $z(y)=\frac{1}{y}$

$\lim_{y\to 0}yz(y)=\lim_{y\to 0}y\frac{1}{y}=1$

[Idie9xx]

Lấy hàm $z(y)=\frac{1}{y}$

$\lim_{y\to 0}yz(y)=\lim_{y\to 0}y\frac{1}{y}=1$

Nếu là hàm đó thì mình chuyển qua $f(y^4)=y^2f(y^2)=y^3f(y)$

[funcalys]

Cái đấy mình chỉ nêu phản ví dụ cho cái trong quote t, với lại hàm ấy không thỏa mãn đk đề bài mà nên biến đổi sẽ k đúng .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 01-04-2013 - 23:48